Somme directe

[babeth107]

Bonjour j'ai cette demonstration sur laquelle je bloque: pourriez-vous m'aider ? me donner une piste ?
Merci d'avance :

montrer que ℂ^p=Ker(M-λIp)⊕(KerM-μIp)

[capitaine nuggets]

Salut !

Peut-être faudrait-il que tu nous donnes , non ?

[Doraki]

Il faut utiliser le fait que M est un scorpion et que λ est son radiateur.

[babeth107]

Je sais juste : M=λA+μB
Je ne sais rien de B ou A

[Ben314]

Sans aucune hypothèses sur lambda,mu, A, B, c'est clairement faux.
Le cas le plus simple qui vient à l'esprit, c'est de prendre lambda=mu=0 (et A,B quelconques) et les deux noyau de ta formule sont égaux à l'espace C^p tout entier et ne sont donc pas en somme directe.
Et si tu prend un exemple "au pif" de A,B, lambda, mu, de même, il est quasi certain que le résultat est faux.

Et comme ça m'étonnerais fortement qu'on puisse trouver une ânerie aussi grosse que ça dans un énoncé, d'où qu'il sorte, c'est que tu as forcément des hypothèses supplémentaires.

[babeth107]

Pardon je n'ai pas mentionnée que lambda, nu, A et B ne sont pas nuls

J'ai pris un élément de C^p et j'ai montré qu'il est nul, mais je n'arrive pas à montrer l'égalité des dimensions

[Ben314]

Bis et répéta (hélas...) : si tu prend A,B, lambda, mu au pif, c'est quasi sûr que ça marche pas.
Par exemple, avec A=B (presque quelconque); lambda=-mu c'est toujours aussi trivial que l'égalité est fausse vu qu'à part quelque rare cas particulier pour A, les deux noyaux seront réduits à {0}.

Et, personnellement, et j'en suis bien désolé, mais je ne vois vraiment pas comment je pourrait ne serait-ce qu'un tant soit peu t'aider à démontrer... un truc faux.

Quand à ça :

J'ai pris un élément de C^p et j'ai montré qu'il est nul

j'espère (pour toi) que c'est de l'humour....

[babeth107]

Voici l'énoncé exact :
p est un entier naturel non nul fixé, on note Ip la matrice unité d'ordre p et Op la matrice carrée d'ordre p nulle.
On considère une matrice M appartenant à Mp(C). On suppose qu'il existe deux complexes distincts et non nuls lambda et mu & deux matrices non nulles A appartenant à Mp(C) et B à Mp(C) tels que
Ip= A+B
M= lambdaA + muB
M²=lambda²A + mu²B

[Ben314]

Bon, ben on va commencer par le truc "qui fâche" :
Est-ce que réellement (et à un niveau scientifique prétendument "supérieur") tu crois que ça :

Je sais juste : M=λA+μB
Je ne sais rien de B ou A

C'est la même chose que ça :

lambda et mu distincts et non nuls
Ip= A+B
M= lambdaA + muB
M²=lambda²A + mu²B

Parce que personnellement, il me semble quand même que même une bille complète et absolue en algèbre linéaire (voire même en math) devrait se dire que, si l'énoncé contient trois (plus epsilon) hypothèses concernant les liens qu'il y a entre A, B, M, lambda et mu, c'est sans doute que si on utilise qu'une seule des trois hypothèses, le résultat devient faux en général. Tu ne pense pas ?

Bon, sinon, pour revenir à l'énoncé, que peut tu dire du produit matriciel ?
Partant d'un vecteur quelconque de C^p, que peut tu dire de ? de ?
de ?

[babeth107]

autant pour moi ...

le produit matriciel est égal à Op

V1-V2 = (mu-lambda)xV

[Ben314]

le produit matriciel est égal à Op

Oui.

V1-V2 = (mu-lambda)xV

Oui (et, vu que lambda est différent de mu, ça signifie que V=1/(mu-lambda).V1 - 1/(mu-lambda).V2)

Et les deux autres questions, à savoir que peut-on, dire de V1 et V2 ?
Indication : c'est uniquement une déduction du fait que le produit matriciel (M-lambda.Ip)(M-mu.Ip) est nul...

[babeth107]

D'accord

Pour l'autre question, je déduis que V1xV2=Op

[Ben314]

Non, ça, dans le contexte de l'exercice, ça ne veut rien dire : il y a effectivement moyen de faire le "produit" de deux vecteurs, à savoir le "produit scalaire" (et éventuellement le "produit vectoriel" si c'est des vecteur de R^3 ou de C^3), mais ça n'a pas quasiment aucun rapport avec ce qu'on est en train de faire en ce moment avec des matrices.

Le produit (M-lambda.Ip)(M-mu.Ip), c'est un produit de matrices (et le résultat est lui aussi une matrice) donc tu peut "appliquer" ce produit à un vecteur et le résultat sera le produit de la matrice nulle avec un vecteur, c'est à dire le vecteur nul :
(M-lambda.Ip)(M-mu.Ip)V=0 où le 0 de droite est le vecteur (colonne) nul.
Et l'expression, de gauche, c'est surement pas égal à (M-lambda.Ip)V.(M-mu.Ip)V vu que ça veut rien dire et qu'en plus, même dans R, le produit ABC, ben il est pas du tout égal à AC.BC donc ça serait plus que surprenant que ce soit vrai avec des produits matriciels.
Par contre, en regardant ce que donne la deuxième matrice appliquée au vecteur V, c'est égal à (M-lambda.Ip)(MV-mu.V) et le fait que ça fasse le vecteur nul, ben ça te dit (par définition) que le vecteur MV-mu.V est dans le noyau de la matrice M-lambda.Ip.

[babeth107]

d'accord j'ai compris.

Mais en quoi cela m'aide pour ma démo ?

[Ben314]

Ben ça montre qu'on peut écrire n'importe quel vecteur V de E sous la forme V=W1+W2 où W1 est dans le premier noyau et W2 dans le second...