Nilpotent jusqu'à s'inverser

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Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 06 Nov 2016, 15:22

Bonjour,

J'ai résolu l'exercice suivant:
Soit P un polynôme de degré n.

Montrer que si P est inversible, alors b1 à bn sont nilpotents et que b_0 est inversible.

Ce que j'ai fait: J'ai considéré Q un autre polynôme tel que PQ = 1 et j'ai exprimé toutes les contraintes sur les coefficients. Si je note (ak) les coefficients de Q de degré m, j'ai prouvé que:
Et

Puis j'ai montré que impliquait
L'idée étant de ramener à


Premier problème: Je n'arrive pas du tout à comprendre l'indication donnée par l'énoncé (et je m'en suis pas servi...vu qu'elle est encore plus compliquée que l'énoncé de départ) qui est: étudier les inversibles de A/p[X] avec p un idéal premier de A. Si P est inversible dans A[T] alors l'image de P dans (A/p)[T] est inversible...

Deuxième problème: Je n'arrive pas à rédiger ma récurrence sur les coefficients.
En effet, Soit Il est assez difficile de passer au rang "k+1" dans le produit de polynômes...

Toute aide serait la bienvenue pour un de ces deux obstacles
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Ben314 » 06 Nov 2016, 16:01

Avec un peu de contexte, ça serait pas mal....
Vu la suite, je suppose que où A est un anneau commutatif unitaire mais clairement non intègre.
Tu n'as aucune autre hypothèses sur A ?

Sinon, c'est totalement exclu vu que ça impliquerais que est inversible alors qu'on sait qu'il est nilpotent.
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 06 Nov 2016, 16:07

A est juste commutatif.

En effet j'ai voulu dire b_n^(m+1)a_0=0 pas 1
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Doraki » 06 Nov 2016, 16:09

Tu n'as pas une bonne hypothèse de récurrence alors recommence à regarder en détail ce qui se passe pour k petit (=0,1,2,3 ...)

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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Ben314 » 06 Nov 2016, 16:10

En fait, il n'y a effectivement pas besoin d'hypothèses sur A.
Pour tout idéal premier p, l'image de P dans A/p[X] est inversible (vu que P est inversible dans A[x]).
Sauf que A/p est intègre donc les seuls polynômes inversibles de A/p[X] sont les polynômes constants (égaux à un inversible de A/p).
Donc l'image de (et en fait de tout les avec ) dans A/p est nulle ce qui signifie que est dans p.
Enfin, comme est dans tout les idéaux premiers p de A, c'est qu'il est dans leur intersection, c'est à dire dans le nilradical de A.
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Ben314 » 06 Nov 2016, 16:12

Lostounet a écrit:A est juste commutatif.
et forcément unitaire vu que sinon, "inversible" ça voudrait rien dire.
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 06 Nov 2016, 16:20

Doraki a écrit:Tu n'as pas une bonne hypothèse de récurrence alors recommence à regarder en détail ce qui se passe pour k petit (=0,1,2,3 ...)


J'ai essayé de regarder (longtemps). J'ai déjà vu en détail comment descendre d'un cran:
puis je multiplie par pour faire apparaître 0.


@Ben: Merci... En effet c'est beaucoup plus rapide...
Mais vu que les arguments utilisés sont un petit peu plus théoriques, je n'ai pas trop vu que faisaient vraiment les coefficients.
Ma méthode par récurrence (pour l'instant vaseuse) a le mérite d'illustrer leur comportement.
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Ben314 » 06 Nov 2016, 16:24

J'ai pas réfléchi à ce que propose Doraki plus "à la main".
S'il le dit, c'est surement que c'est jouable et ça aurai l'intérêt de ne pas utiliser le fait que l'intersection des idéaux premiers c'est le nilradical (dont la preuve générale nécessite l'axiome du choix il me semble)
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 06 Nov 2016, 16:28

Ben314 a écrit:J'ai pas réfléchi à ce que propose Doraki plus "à la main".
S'il le dit, c'est surement que c'est jouable et ça aurai l'intérêt de ne pas utiliser le fait que l'intersection des idéaux premiers c'est le nilradical (dont la preuve générale nécessite l'axiome du choix il me semble)


Oui mais cette preuve liant nilradical et intersection des p je l'ai déjà vue en TD, donc j'y ai droit (et elle utilise le lemme de Zorn)

Et oui c'est plus élémentaire car on aboutit à (en multipliant de part et d'autre par a0^(-1)) qui existe donc bn est nilpotent...
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 07 Nov 2016, 07:11

Doraki tu voulais dire que l'hypothèse de récurrence doit faire intervenir une somme?
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Doraki » 07 Nov 2016, 23:07

Hm en fait je pensais que ton exposant pour bn était trop petit, mais en fait même pas.
Ton problème c'est peut-être que tu vois pas qu'il faut faire une récurrence forte.

Du système
am bn = 0
am-1 bn + am bn-1 = 0
am-2 bn + am-1 bn-1 + am bn-2 = 0,

pour le moment t'es arrivé à en déduire que
am bn = 0
am-1 bn² = 0
Et tu aimerais bien en déduire aussi que am-2 bn^3 = 0 c'est bien ça ?

---

Avec une récurrence forte tu devrais aboutir à a0 bn^(m+1) = 0 donc bn^(m+1) = 0
Mais en fait je suis pas certain que montrer que b(n-1) et tous les autres sont nilpotents soit aussi simple.

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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 08 Nov 2016, 07:56

J'ai opté pour une récurrence forte (mal rédigée).
Oui c'est cela. Je suis conscient que ça doit être récu forte.. mais je suis rebuté par les 4 indices qui trainent...

Pour obtenir la nilpotence de b(n-1) j'ai refait le même raisonnement sur P-bnX^n qui est somme d'inversible et de nilpotent.
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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Doraki » 08 Nov 2016, 13:17

4 indices ??

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Re: Nilpotent jusqu'à s'inverser

par Lostounet » 08 Nov 2016, 16:37

Je veux dire 4 lettres... 1 indice sur la récurrence.

Tu as le degré m, le n, le L=m+n du produit des deux polynomes et le k indice de la récurrence.
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