Bonjour,
J'ai résolu l'exercice suivant:
Soit P un polynôme de degré n.
Montrer que si P est inversible, alors b1 à bn sont nilpotents et que b_0 est inversible.
Ce que j'ai fait: J'ai considéré Q un autre polynôme tel que PQ = 1 et j'ai exprimé toutes les contraintes sur les coefficients. Si je note (ak) les coefficients de Q de degré m, j'ai prouvé que:
Et
Puis j'ai montré que impliquait
L'idée étant de ramener à
Premier problème: Je n'arrive pas du tout à comprendre l'indication donnée par l'énoncé (et je m'en suis pas servi...vu qu'elle est encore plus compliquée que l'énoncé de départ) qui est: étudier les inversibles de A/p[X] avec p un idéal premier de A. Si P est inversible dans A[T] alors l'image de P dans (A/p)[T] est inversible...
Deuxième problème: Je n'arrive pas à rédiger ma récurrence sur les coefficients.
En effet, Soit Il est assez difficile de passer au rang "k+1" dans le produit de polynômes...
Toute aide serait la bienvenue pour un de ces deux obstacles