Théorie des nombres et infini

[leanj]

Nodgim

Je comprends bien le truc de ton exemple mais je n'arrive pas à suivre ton raisonnement écrit!
Quand tu écris :
"On construit le nombre du segment(1) en attribuant toutes les décimales (3) de x au rang 1 + 3 k des décimales(4) du nombre du segment (2), toutes le décimales de y au rang 2 + 3k , toutes les décimales (5) de z au rang 3+3k. "

D'abord je ne sais plus à quel segment tu fais référence pour (1) et (2), puis je ne sais plus à quelles décimales tu fais référence en (3) (4 ) (5) !!! (bien que si il y a 3 références c'est qu'elles doivent concerner celles du point dans le cube , enfin !)

Mais j'ai bien compris que tu construisais un nombre par un assemblage de positions avec :
x =>1 + 3k
y =>2 + 3k
z = 3 + 3k
pour k=0 on a les rangs 123
pour k=1 on a les rangs 456
pour k =2 on a les rangs 789 etc
Ainsi à partir des coordonnées (x,y,z) d'un point dans le carré de côté 1,en prenant successivement des valeurs des rangs de x, de y et de z , tu construis un nombre unique appartenant à [0,1) :
0, rang 1 rang 2 rang 3...etc

Mais quand tu écris :
"En écrivant cela, je me rends compte qu'on peut aussi faire ça avec uniquement les rationnels...."
Je me demande alors à quelle famille appartient ce nouveau nombre unique? Au réels ?

[nodgim]

Oui, aux rationnels, sinon je n'en aurais pas parlé. La caractéristique des rationnels est leur écriture séquentielle. Or en intercalant les 3 séquences, on obtient à nouveau 1 nombre à séquence, donc un rationnel.

[leanj]

Nodgim

Comme tu as écrit :
"En écrivant cela, je me rends compte qu'on peut aussi faire ça avec uniquement les rationnels...."

C'est pour cela que je me suis demandé si le nouveau nombre était réel ou pas !
Bon, tu me dis maintenant que c'est un rationnel parce que "en intercalant les 3 séquences, on obtient à nouveau 1 nombre à séquence, donc un rationnel" ?
La succession des séquences est pourtant organisée de manière aléatoire puis qu'elle se fait en choisissant des rangs à la suite des autres mais indépendants les uns des autres. Ce n'est pas une séquence qui se répète, identique à elle même ?
Alors comment faire la démonstration pour des réels ?

[nodgim]

Je ne saisis pas bien ta question.
La concaténation de 3 nombres réels, avec la méthode indiquée, donne un nombre réel.
La concaténation de 3 nombres rationnels avec la même méthode donne un nombre rationnel.

Cela dit, pour ne pas embrouiller, tu peux te contenter de la réponse sur les réels, puisque c'est le sujet.

[Ben314]

Le processus dont tu parle marche "presque", mais pas tout à fait.
Tu as (comme par hasard) un problème lié à la non unicité de l'écriture des réels sous forme décimale.
Tu peut évidement décréter une fois pour toute que tu ne considère que les développement propres, c'est à dire ne contenant pas que des 9 à partir d'un certain rang, mais ça déconne vu que, par exemple, le réel t=0,000009009009009.... du segment [0,1] est bien écrit sous forme "propre", mais il ne peut provenir que du point de [0,1]^3 de coordonnées x=0,0000... ; y=0,00000... ; z=0,099999.... où le réel z est écrit sous forme impropre et que, si tu écrit le même z sous forme propre, à savoir z=0,1000000... ça ne donne plus du tout le même t vu que ça donne t=0,0010000000... qui est (très) différent de t=0,000009009009009....

Donc si pour x,y,z tu ne prend que les formes décimales propres alors ta fonction ne sera pas surjective (certain t de [0,1] ne seront pas atteint). Tu vérifiera que, de même, si tu prend systématiquement les formes impropres pour x,y,z alors il te manque des trucs à l'arrivée donc la fonction n'est toujours pas surjective.

[nodgim]

Certes Ben, mais l'association bijective reste possible entre un point du cube et un point du segment, non ?
A condition d'ignorer la double écriture possible. Si l'une des coordonnées d'un point du cube est écrite en version impropre, le nombre associé du segment sera aussi écrit en version impropre. En quoi est ce gênant ?

[Ben314]

Certes Ben, mais l'association bijective reste possible entre un point du cube et un point du segment, non ?
A condition d'ignorer la double écriture possible. Si l'une des coordonnées d'un point du cube est écrite en version impropre, le nombre associé du segment sera aussi écrit en version impropre. En quoi est ce gênant ?

OUI, il existe bel est bien une bijection entre [0,1] et [0,1]^3.
Par contre, NON, ta fonction, quelque soit les choix faits concernant les réels ayant deux écritures décimale ne sera jamais une bijection.
Si on regarde la fonction dans le sens (x,y,z) -> t, dit moi :
1) Qui va être l'unique antécédent (x1,y1,z1) de t1=0,000 009 009 009... ?
2) Qui va être l'unique antécédent (x2,y2,z2) de t2=0,001 000 000 000... ?

[nodgim]

Le problème, c'est que tu me proposes 2 fois le même nombre. Mais ce n'est pas grave.
Pour 1) : x1=0 ; y1=0 ; z1= 0,09999...
Pour 2) : x2=0 ; y2=0 ; z2= 0,1
C'est le même point dans le cube.

En revanche, il faudrait éviter d'écrire 1 pour 1, mais choisir 0,9999....

[Ben314]

Le problème, c'est que tu me proposes 2 fois le même nombre. Mais ce n'est pas grave.
Pour 1) : x1=0 ; y1=0 ; z1= 0,09999...
Pour 2) : x2=0 ; y2=0 ; z2= 0,1
C'est le même point dans le cube.

Ben justement non : les nombres t1 et t2 que je t'ai donné ne sont pas du tout égaux (t1 est plus de 100 fois plus petit que t2 !!!)
Alors qu'effectivement, toi tu trouve que (x1,y1,z1) c'est exactement le même triplet que (x2,y2,z2) ce qui évidement signifie que l'image du triplet (x1,y1,z1) c'est sensé être la même que l'image du triplet (x2,y2,z2) [Il est bien clair que, si A=B alors F(A)=F(B) !!!] donc il n'est pas possible que le premier triplet ait pour image t1 et que le second (qui est en fait le même...) ait pour image t2.
Et c'est pour ça que ton truc, il ne marche pas : si tu choisi de dire que l'image du triplet (je rappelle que des triplets, il n'y en a pas 2 mais un seul) c'est t1 alors t2 ne sera l'image de personne, et si tu choisi de dire que l'image du triplet c'est t2 alors t1 ne sera l'image de personne.
Dans les deux cas, la fonction construite est non surjective.

[nodgim]

Ah OK, je n'avais pas percuté...
Du reste, il y a des cas où 1 point du cube peut être associé à 8 points différents du segment !
Du coup, si on se place dans les réels, qui incluent les rationnels, ce n'est pas bijectif .

"Chaque point du cube peut être représenté par 1 ou plusieurs points du segment.
A chaque point du segment, on associe un point unique du cube"
est ce qu'on peut en dire.

[beagle]

Bah si c'est du maxi 8 fois, pas grave,
tu colles 8 segments de [0,1] et là le cube remplit le premier segment si c'est déjà pris il va se diriger vers le segment 2, ou le 3 etc...
restera alors à renommer les points de [0,8]en [0,1] si on tient au [0,1], mais déjà sans faire cela UN segment [0,8] bijectionne avec UN cube alors non?

[beagle]

enfin la bijection c'est par double surjection.

on prend la fonction de nodjim,
on note tous les points du cube qui vont vers le premier segment [0,1], si déjà pris on va à celui d'a coté, il est dit jusqu'au huitème si besoin.
Donc tout le cube va vers les huit segments 0,1
donc on prend la fonction inverse qui amène des huits segments 0,1 vers le cube
et on y rajoute pour tous ceux qui ne sont pas atteints dans les segments, ben part du segment vers un coin quelconque pour ne pas se faire suer.
Alors des huits segments cela arrive en surjection sur le cube.

Surjection du cube sur les huit segments, on prend 8 arètes pour remplir les huits segments et le reste du cube va où il veut.Surjection du cube vers les huits segments.

Bon ok c'est moins joli que la proposition initiale de nodjim,
mais elle est recyclée.Par ces temps de gaspillage, je ne sais pas si c'est utile ou bien raisonnable.

[Ben314]

enfin la bijection c'est par double surjection.

Oui, c'est effectivement comme ça qu'on procède la plupart du temp pour montrer qu'il existe une bijection de [0,1] dans [0,1]^3 (c'est plutôt par "double injection, mais ça ne change pas vraiment grand chose).

SAUF QUE, autant dans le cas fini, le fait qu'il y ait une injection de A->B et une injection de B->A permet assez clairement d'en conclure qu'il existe une bijection de A->B (c'est à dire qu'ils ont le même nombre d'éléments), autant dans le cas infini, c'est tout sauf trivial et ça porte même un nom : le théorème de Cantor-Bernstein.
Et pour préciser que ce n'est pas trivial du tout, il me semble bien que les premières fois que Cantor en a parlé, ben il avait pas de preuve et il me semble avoir lu quelque part que les premières preuve proposées (par Cantor ?) étaient fausses.
Enfin, bref, on est dans un des cas "favorable" où l'infini se comporte comme le fini, mais c'est pas du tout une trivialité.

[beagle]

ah oui double injection plutot, je ne savais pas.
J'avais déjà croisé double surjection,
et en fait c'est idem si injection dans un sens alors surjection dans l'autre sens possible, c'est ça?

[Ben314]

Si tu as une injection de A dans B (et que A est non vide) alors tu construit facilement une surjection de B dans A.

Par contre, partant d'une surjection de A dans B, dans le cas général (i.e. totalement théorique) pour construire une injection de B dans A, il faut obligatoirement utiliser ce qu'on appelle "l'axiome du choix" qui est un axiome un peu à part de la théorie des ensemble usuelle : lorsque l'on peut, on évite de l'utiliser vu qu'il est "zéro constructif" mais il y a certains domaines, où il est indispensable pour démontrer des résultats dans le cas général : Théorème de Hahn-Banach, Théorème de Tychonoff, Théorème de Krull, ...

Je pense que c'est une des raisons (il y en a surement d'autres...) qui font qu'on raisonne beaucoup plus souvent avec des injection qu'avec des surjection.

[nodgim]

Le but du jeu était tout de même de montrer qu'on pouvait représenter tous les points du cube par des points du segment. D'un point du cube part 1 ou plusieurs flèches, et sur chaque point du segment n'arrive au mieux qu'une seule flèche. Il y a plus de points du segment que de flèches, et plus de flèches que de points du cube. le but est donc atteint, non ?

[beagle]

ensemble A ( le segment) = deux éléments a et b
ensemble B (le cube) = 3 éléments 1,2,3
flèches (a,1) (b,2) (b,3)
ben non il n' y a pas autant de points du cube que de points du segment.

[beagle]

Bon c'était juste dommage pour ta construction,
sympa par ailleurs et qui montre qu'avec l'infini on peut toujours avoir un crédit infini pour piquer dans la caisse (simples décalages, comme quand on fait il y a autant de pairs que d'impairs dans IN, on décale, beagle = on emprunte...)
Maintenant du avais très peu de points soucis dans ta démonstration donc les infinis sont les mèmes (infini + quelques éléments ou n fois l' infini = le même infini) , donc là tu sais déjà que c'est gagné ta démo.
Juste qu'elle a besoin d'un petit raccord, moins esthétique.
Mais nous sommes d'accord c'était plié avec ta façon de faire.
Mais un chouille près le mathématicien, ici Ben314, te reprend.

[nodgim]

ensemble A ( le segment) = deux éléments a et b
ensemble B (le cube) = 3 éléments 1,2,3
flèches (a,1) (b,2) (b,3)
ben non il n' y a pas autant de points du cube que de points du segment.

Ce n'est pas vraiment un problème, et ce n'est pas ce que j'ai écrit. Le problème aurait eu lieu si on n'avait pas pu trouver des points de segment pour représenter tous les points du cube. Or, on dispose sur le segment plus de points disponibles que de points nécessaires (pour représenter les pts du cube).

[beagle]

ensemble A ( le segment) = deux éléments a et b
ensemble B (le cube) = 3 éléments 1,2,3
flèches (a,1) (b,2) (b,3)
ben non il n' y a pas autant de points du cube que de points du segment.

Ce n'est pas vraiment un problème, et ce n'est pas ce que j'ai écrit. Le problème aurait eu lieu si on n'avait pas pu trouver des points de segment pour représenter tous les points du cube. Or, on dispose sur le segment plus de points disponibles que de points nécessaires (pour représenter les pts du cube).

Possible que je me trompe mais les remarques de Ben314 portaient sur des points du cube qui étaient liés au même point du segment.
Par contre pour mes 8 segments je m'a gourré et j'ai pris ta phrase à l'envers:
"Du reste, il y a des cas où 1 point du cube peut être associé à 8 points différents du segment !"
désolé
Donc est-ce qu'il n' y avait de soucis que sur certains points où il y avait deux écritures du cube qui donnaient la même écriture du segment? Auquel cas deux segments [0,1] suffisaient.

maintenant s'il y a aussi des 1 points du cube donne 8 points de segments, ben alors faut que tu définisses la rustine, le complément où tu fais la balance entre les deux ensembles.