Produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien

[Clément]

Bonjour à tous,

Je travaille en ce moment sur les espaces vectoriels et je cherche à retrouver par construction le produit scalaire usuels qu'on apprend au lycée.

La notion de produit scalaire est introduite lors de la définition de l'espace préhilbertien réel comme étant une forme bilinéaire symétrique définie positive. Cependant il existe un certain nombre de forme bilinéaire répondant à cette définition dans . Je suis d'accord pour dire que dans une base -orthonormale le produit scalaire de deux vecteur et s'exprime par définition ainsi :



Mais qu'est-ce qui permet de faire le lien entre une base -orthonormale et sa représentation graphique ?

C'est toujours les choses les plus fondamentales qui sont les plus compliquées à comprendre. Je viens de passer la semaine à chercher une définition mathématiques complète et j'ai la sensation de tourner en rond sur ce point.

L'un de vous aurait-il une explication à proposer quant au raisonnement qui conduit à la définition du produit scalaire usuel dans ?

Bien cordialement,

ClB

[Ben314]

Salut,
Au niveau purement mathématique, il n'y a pas vraiment de "produit scalaire privilégié" sur R^3 : tout les produit scalaires qu'on peut définir se valent (i.e. ont exactement les même propriétés) et la seule propriété du produit scalaire "usuel" sur R^3 c'est de pouvoir s'exprimer légèrement plus simplement que les autres.

Après, à mon sens, une façon de voir que les notions d'angle droit et de distance peuvent être considérées comme "relatives" (i.e. dépendant du produit scalaire choisie) et pas "absolue", c'est de considérer dans le plan le dessin d'un truc vu en perspective : un "angle droit" vu en perspective ne sera pas "un angle droit usuel" et un "repère orthonormé" vu en perspective sera formé de deux vecteur qui, sur la feuille, sont de longueur différentes et l'angle entre les deux vecteur sur la feuille ne sera pas un angle "usuellement droit".
Il n'empêche que ces deux vecteurs (visuellement quelconques) peuvent parfaitement être considérés comme formant une base orthonormée (vue en perspective).

Sinon, concernant cette "impression de tourner en rond", ça n'a absolument rien d'étonnant vu que, scolairement parlant, le produit scalaire (dans le plan) est plus ou moins présenté comme étant le truc égal à xx'+yy' dans une base orthonormée sachant qu'une base orthonormée, c'est (en particulier) formé de vecteurs orthogonaux et que des vecteurs orthogonaux, c'est (par définition) des vecteurs dont le produit scalaire fait 0.
Bref, pour définir le produit scalaire on utilise... le produit scalaire (j'exagère un peu, mais à peine).
Et si on veut pas que ça se morde la queue, il y a deux solutions :
- Soit on définit les truc de façon purement concrète : un angle c'est "un truc qu'on mesure avec un rapporteur", une longueur c'est "un truc qu'on mesure avec une règle graduée", un angle droit c'est "un truc qu'on vérifie avec une équerre". Sauf que pour démontrer quoi que ce soit en partant de ça comme définitions, c'est mal barré...
- Soit on considère qu'un produit scalaire c'est "une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie" et, inévitablement, on obtient que des produits scalaires sur un e.v. réel de dimension 2, on en as des tas et qu'au fond, absolument n'importe quelle base de l'e.v. E peut être considéré comme orthonormée, modulo de prendre le produit scalaire adéquat. C'est évidement ce dernier point de vue qu'on enseigne dans le supérieur bien qu'au départ il puisse sembler contre intuitif (que n'importe quelle base puisse être orthonormée, ça choque un peu au départ, mais... on s'y fait parfaitement)

[Clément]

Merci de cette réponse. Toutefois j'aimerai approfondir un peu. La notion d'angle en mathématiques à mon sens indépendante de la notion de base ou de point de vu. De même que la notion de longueur est indépendante de la notion d'unité (physique), l'unité mathématique étant fixé par la loi de composition interne.

Je comprends bien que j'essaie probablement de définir un axiome que je n'arrive pas à énoncer clairement.

Par exemple, dans le cas où l'on ne dispose pas d'une base orthonormée. La notion de produit scalaire est définissable numériquement, et pour cette base, par la -matrice de Gram de cette base. Les valeurs qu'on choisit, arbitrairement ou presque, pour les composantes de cette matrice définissent alors la "métrique" de notre espace vectoriel. Est-il possible toutefois de faire le lien entre ces valeurs et la notion d'angle par exemple ?

[Ben314]

Que ce soit la notion d'angle ou celle de longueur, ce sont effectivement des notions indépendante de la base, mais par contre elles dépendent du produit scalaire choisi : deux vecteurs donnés vont être orthogonaux pour un certain produit scalaire et non orthogonaux pour un autre.
De même, la norme d'un vecteur (i.e. sa "longueur") dépend du produit scalaire choisi (vu que la norme de U, c'est la racine carré de U scalaire U).

Concernant le deuxième paragraphe, je comprend pas bien la question.
Tu te donne un produit scalaire par une méthode quelconque, soit directement calculatoire, soit en choisissant une base quelconque et et disant que ton produit scalaire c'est celui qui rend cette base orthonormée, soit en te donnant uns base quelconque et donnant l'expression de ce produit scalaire dans cette base là (je pense que ça doit être ça le truc des "matrice de Gram" dont j'ai jamais entendu parler...)
Enfin, bref, tu te donne un produit scalaire et ça te permet de définir la notion d'isométrie (relative à ce produit scalaire) puis, si on est en dimension 2, ça te permet de définir définir la notion d'angle (relative à ce produit scalaire) et enfin, modulo d'orienter l'espace, tu peut terminer en définissant la notion de mesure d'angle.
Par contre, je le redit : je comprend pas trop la question finale...