Fonction et suite

[chloeco]

Bonsoir, j'ai un petit blocage pour la dernière question de l'exo suivant :

On définit sur [1;+∞[ la fonction g_n : x x exp(-x) -1/n
1) montrer que pour tout n >= 3 gn(x) =0 admet une unique solution notée rn : (ici ds une première partie on avait déjà étudié la fonction xxexp(-x) et on avait montré qu'elle était bijective) du coup je m'en suis servie pour montrer l'unicité et l'existence de rn

2) en étudiant le signe de gn+1(rn) montrer que la suite rn est croissante :
ici j'ai calculé g_n+1(r_n) et g_n+1(r_n+1) et donc j'ai montré que r_n+1>r_n

3) par un raisonnement similaire montrer que rn>ln(n) : là j'ai utilisé g_n(r_n) et g_n(ln(n))

4)En déduire la nature de la suite (rn) et son éventuelle limite
pour la limite je pense que c'est +∞ rn>ln(n)
lim (n+∞)rn > lim(n+∞)ln(n)
or lim(n+∞)ln(n) =+∞ donc lim rn = +∞ (c'est le théorème des gendarmes je crois)

par contre pour ce qui est de la nature de la suite je sèche
merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Lorsque l'on parle de "la nature", ça peut effectivement dire un peu tout et n'importe quoi. Par exemple "géométrique" ou "arithmétique", mais ça m'étonnerais plus que fortement que (rn) soit géométrique ou arithmétique.
Donc là, le seul truc qui me vient à l'esprit c'est que "la nature" ça veut dire "convergente ou pas" et... tu as déjà répondu à la question...