Décomposition en nombres premiers

[Abilys38]

Bonjour,



Je suis parti sur une décomposition en nombres premiers.


Je ne sais pas trop vers quoi me tourner ensuite.

P.S: Je pense qu'on peut également trouver une solution avec la valuation p adique mais j'aimerais ne pas utilisé celle là pour le moment.

[Pseuda]

Bonjour,

Pour l'écriture en latex, c'est p_n pour .

Pour la suite, je partirais du pgcd de a et b.

[beagle]

pour un premier donné pi
il est en puissance 2k dans le carré et en puissance 3k' dans le cube donc forcément en puissance 6k"

[Abilys38]

pour un premier donné pi
il est en puissance 2k dans le carré et en puissance 3k' dans le cube donc forcément en puissance 6k"

Je n'ai pas compris pourquoi.
Même si je me doute que c'est la réponse à l'exercice, c'est ça que je n'arrive pas à justifier.

[beagle]

2k = 3k'
avec k et k' entiers
donc k = 3k'/2
donc k' divisible par 2 et k est un multiple de 3
donjc il existe k" et k"' tels que
2k = 2x3k" et 3k' = 3x2k"' et comme 2k=3k'
6k" = 6k"'

[Abilys38]

Est ce que c'est le fait que:


Donc on retrouve forcement en puissance au minimum le PPCM de 2 et 3?
Il manque surement des justifications dans ce que je propose..

Edit: Je n'avais pas vu ta réponse. Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?

[Doraki]

je peux pas résister :

(a/b)^6 = a^6/b^6 = n^3/n^2 = n.

Et comme n est un entier, (a/b) doit aussi être un entier (on peut pas transformer une fraction non entière en un entier en l'élevant à la puissance 6)

[beagle]

"
Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?"
t'es vachement prudent ou suspicieux toi.C'est bien en maths.
Pour éviter cela décompose plutôt n en nombres premiers, non?
c'est juste les puissances qui font le carré ou le cube ensuite.

Sinon ok comme tu fais, soit p premier dans a qui n'est pas dans b, alors ...



[Abilys38]

Nous pouvons affirmé cela grâce à l'unicité de la décomposition en facteurs premiers (pouvez vous me confirmer cette phrase)

Donc:



Est ce que c'est satisfaisant?

[beagle]

je ne suis pas prof donc je ne sais pas si cela plaira

par contre la ligne numéro deux ne commence pas par le signe implique
c'est ET n =b^3 = ...

[Abilys38]

Oui effectivement !! Je modifie

La proposition de Doraki était par contre vraiment plus simple...
Puisque a divise b, (a/b)^6 = c^6 c'est fini.

[Pseuda]

Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?

Ce sont les mêmes : p1 =2, p2 = 3, p3 = 5, ...., au besoin avec des puissances 0, avec des puissances pour a et d'autres (pas forcément les mêmes) pour b.

[Abilys38]

Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?

Ce sont les mêmes : p1 =2, p2 = 3, p3 = 5, ...., au besoin avec des puissances 0, avec des puissances pour a et d'autres (pas forcément les mêmes) pour b.

Ok c'est ce que j'ai compris aprés, et ça rend la vie (ou au moins l'arithmétique) tellement plus simple

[Pseuda]

Oui effectivement !! Je modifie

La proposition de Doraki était par contre vraiment plus simple...
Puisque a divise b, (a/b)^6 = c^6 c'est fini.

Encore faut-il montrer (ou savoir....) que si vérifie , alors .

[beagle]

Oui effectivement !! Je modifie

La proposition de Doraki était par contre vraiment plus simple...
Puisque a divise b, (a/b)^6 = c^6 c'est fini.

hé,hé, si tu viens sur ce forum tu verras que Doraki fait souvent sa démonstration en une seule phrase.Là où d'autres mettent 10 ou 20 lignes.Mais des fois c'est de la forte ...

les réponses de Doraki:
"faut reconnaître...c'est du brutal"
https://www.youtube.com/watch?v=btIkYYTFqDQ

[Ben314]

Salut,
Juste une remarque concernant ça :

Edit: Je n'avais pas vu ta réponse. Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?

Quelque soient les entiers naturels non nuls n et m, tu peut toujours écrire


Avec les même et le même : il suffit d'accepter d'avoir des exposants nuls :


C'est par exemple on ne peut plus pratique pour écrire le pgcd ou le ppcm de n et de m (ça évite de s'emm... avec les cas où un nombre premier n'apparait que dans l'un des deux entiers)

[nodgim]

Perso, je ne suis pas aussi enthousiasmé par la méthode Doraki. Car prouver rigoureusement que si une fraction élevée à une puissance 6 est entière, alors cette fraction est entière, ce n'est pas forcément évident...

[Ben314]

C'est quand même pas la mer à boire par contraposition : si est un rationnel non entier (sous forme irréductible), alors donc il existe premier qui divise et, évidement, qui ne divise pas donc divise mais pas et ça prouve que ne divise pas , c'est à dire que est non entier.
Sinon, tu peut aussi regarder directement la décomposition en facteurs premiers de et de qui n'ont aucun élément communs vu que est irréductible, et tu voit que est lui aussi sous forme irréductible donc entier ssi , c'est à dire .

[Abilys38]

Salut,
Juste une remarque concernant ça :

Edit: Je n'avais pas vu ta réponse. Ok donc il reste plus qu'à justifier que les nombres premiers qui composent a sont les mêmes que ceux qui composent b non?

Quelque soient les entiers naturels non nuls n et m, tu peut toujours écrire


Avec les même et le même : il suffit d'accepter d'avoir des exposants nuls :


C'est par exemple on ne peut plus pratique pour écrire le pgcd ou le ppcm de n et de m (ça évite de s'emm... avec les cas où un nombre premier n'apparait que dans l'un des deux entiers)

En fait ça je le savais, mais je m'étais dis que c'était vraiment trop beau pour pouvoir se faire. Mais finalement si ...
Ca facilite vraiment ce genre d'exercice je trouve.

Par contre, j'ai l'impression que la diversité d'exercices dans le chapitre sur l'arithmétique est supérieur à celle des autres chapitres de MPSI que j'ai fais jusqu'à maintenant (équas diff, complexes, suites). Est ce que ce chapitre est d'un niveau supérieur aux autres de MPSI??

[beagle]

"Ca facilite vraiment ce genre d'exercice je trouve"
pour cet exo là, ben pourquoi parler de a² et b^3 et partir de leur décomposition,
alors que si on suppose n = n
ben c'est la même décomposition, il n' y en a qu'une seule,
ensuite on peut discuter des exposants ...

donc décomposition en facteurs premiers de n,
Pour tout pi, ben il est dans a ou dans a, donc dans a, et la puissance dans a est celle de pi divisée par deux
pi est dans b ou b ou b, donc dans b, et alors sa puissance dans b est divisée par 3.
donc alpha i la puissance de pi est divisible par 6
...