Système d'équation 3x3

[JPPfra78750]

Bonjour Mesieurs,
Je souhaite vous demander un peu d'aide sur un problème que j’essaie de résoudre.

Pour votre culture, c'est un système issu d'un cas de détermination du positionnement d'une balise radio (coord x,y) en ayant pour info uniquement le temps d'arrivée d'un message sur 3 autres points A,B,C et ne sachant pas quand le message a été envoyé (mais en connaissant la vitesse du message et son temps d'arrivé sur les 3 points).

Je cherche à trouver x et y dans le système d'équation suivant :
avec a;b;e;f;g;h;m;n connus
avec x, y et d inconnus.

sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) = d
sqrt((x - e)^2 + (y - f)^2) = d+m
sqrt((x - g)^2 + (y - h)^2) = d+n

Donc pour repositionner ces équations par rapport au problème, les points qui reçoivent les messages de la balise sont aux coord:

A(a;b), B(e;f) et C(g;h)

La distance AM est notée d. Avec M le point simulant la balise.
La distance BM est notée d+m.
La distance CM est notée d+n.


J'ai joué avec les équations sans succès jusqu'à maintenant.

Exemple :
(1) =>
(x-a)2 = d2 - (y - b)2
x= a + sqrt(d2 - (y - b)2)
y= b + sqrt(d2 - (x - a)2)

ou
(x - e)2 + (y - f)2 = (x - a)2 + (y - a)2 +m2 + 2m * sqrt((x- a)2 + (y - b)2)



Toute aide sera la bienvenue, je suis aussi preneur d'une solution par trigonométrie si jamais vous en voyez une.

Je vous remercie beaucoup.

[Ben314]

Salut,
Tu t'empresses évidement d'élever les 3 équations de départ au carré histoire de ne plus avoir de racines carrées nulle part.
Ensuite, tu retranche la première équation à la deuxième et à la troisième histoire que ces deux dernières deviennent de simples équations linéaires en x,y,d.
Tu regarde ça comme un système 2x2 d'inconnues x et y (et de paramètre d) que tu résous ce qui te permet d'exprimer x et y sous la forme ?d+?.
Tu injecte ça dans la première équation et ça te fait une gentille équation du second degré en d.

[JPPfra78750]

Merci Ben,
Réponse parfaite.

Pour info voilà le résultat :

Suppr des racines :

(xm - xa)2 + (ym - ya)2 = d2
(xm - xb)2 + (ym - yb)2 = d2+m2 +2md
(xm - xc)2 + (ym - yc)2 = d2+n2+2nd


(2) - (1) =>
(xm - xb)2 + (ym - yb)2 - (xm - xa)2 - (ym - ya)2 = m2 +2md
xb2 -2xm*xb + yb2 - 2*ym*yb - xa2 +2xm*xa - ya2 + 2*ym*ya = m2+2md
-2xm*xb+2xm*xa = m2 +2md - 2*ym*ya + ya2 +xa2 +2*ym*yb -yb2 -xb2

Définition de xm en fonction de d et ym :
xm = (m2 +2md - 2*ym*ya + ya2 +xa2 +2*ym*yb -yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)


(3) - (1) =>
(xm - xc)2 + (ym - yc)2 - (xm - xa)2 - (ym - ya)2= n2+2nd
xc2 -2xm*xc + yc2 - 2*ym*yc - xa2 +2xm*xa - ya2 + 2*ym*ya = n2+2nd

- 2*ym*yc + 2*ym*ya = n2+2nd +ya2 - 2xm*xa + 2xm*xc + xa2 -yc2 -xc2
(-2yc+2ya)ym = xm (-2xa+2xc)+n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2

Remplacement de xm dans cette équation :
(-2yc+2ya)ym = ((m2 +2md - 2*ym*ya + ya2 +xa2 +2*ym*yb -yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)) (-2xa+2xc)+n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2
(-2yc+2ya)ym = ((- 2*ym*ya)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc) + ((2*ym*yb)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc) + ((m2 +2md + ya2 +xa2-yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)) (-2xa+2xc) +n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2
ym(-2yc+2ya - ((- 2*ya)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc)) - ((2*yb)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc)) = ((m2 +2md + ya2 +xa2-yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)) (-2xa+2xc) +n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2

ym uniquement en fonction de d:
ym = (((m2 +2md + ya2 +xa2-yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)) (-2xa+2xc) +n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2)/(-2yc+2ya - ((- 2*ya)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc)) - ((2*yb)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc))

Et on a immédiatement xm en fonction de d.

ym = d*B
xm = d*A

(1) =>
(dA - xa)2 + (dB - ya)2 = d2
dA2+xa2-2*dA*xa+dB2+ya2-2*dB*ya=d2
d2(A2+B2-1)+ -2d(A*xa+B*ya) +ya2+xa2 = 0

[Ben314]

J'ai pas fait les calculs, ni suivi les tiens (c'est plus que c... à lire...), mais ça m'étonnerais pas mal qu'on ait systématiquement xm = d*A et ym = d*B quelque soit les valeurs des paramètres.
Normalement vu le type d'équations que tu manipule, tu devrais trouver du xm=d*A+A' et ym=d*B+B' (où A,A',B,B' dépendent des paramètres du problème)

[JPPfra78750]

ym = (((m2 +2md + ya2 +xa2-yb2 -xb2)/(-2xb+2xa)) (-2xa+2xc) +n2+2nd +ya2+ xa2 -yc2 -xc2)/(-2yc+2ya - ((- 2*ya)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc)) - ((2*yb)/(-2xb+2xa))(-2xa+2xc))

Tu as raison il y a bien des termes qui ne sont pas factorisables par d. Merci encore