Suite récurrente d'ordre 2

[Bcpicao]

Bonjour à toutes et à tous,
Voici une question de mon interro de calcul de prépa (que je n'ai pas faite en temps limité):
(Trouver l'expression explicite des) Suites réelles tel que u(n+2)+u(n+1)+u(n)=0
Après avoir résolu dans C puis, en passant par l'écriture géométrique et avec la fonction partie imaginaire, j'ai trouvé une horrible disjonction de cas qui, certes, marche mais ne me plaît pas du tout. Quelqu'un aurait-il d'autres méthodes de résolution plus efficaces/esthétiques?

Merci

[Ben314]

Salut,
Je sais pas comment tu t'y est pris, mais normalement, "l'horrible disjonction de cas", ça doit consister à dire que les suites réelles vérifiant, pour tout n dans N (c'est pas con de l'écrire...) U_{n+2}+U_{n+1}+U_n=0 sont celles telles qu'il existe a et b dans R vérifiant :
pour tout k dans N, U_{3k}=a ; U_{3k+1}=b ; U_{3k+2}=-a-b

[zygomatique]

salut

ou encore pour compléter la réponse de Ben314

u(n + 2) + u(n + 1) + u(n) = 0
u(n + 3) + u(n + 2) + u(n + 1) = 0

donc par soustraction u(n + 3) = u(n)

...

[Kolis]

Bonjour !
En résolvant d'abord dans tu trouves comme base de solutions.
Pour les suites réelles tu auras donc une combinaison linéaire de , sans aucune disjonction de cas.

@zygomatique : En quoi complètes-tu la réponse précédente qui contient déjà ton ?

[zygomatique]

ben la suite est périodique de période 3

donc les deux premiers termes + la définition de la suite donne le troisième donc tous les termes avec la périodicité ...

[Bcpicao]

Merci pour vos réponses!

Néanmoins, je voulais plutôt une solution explicite, et j'ai fini par trouver une plus plaisante d'après ce que a dit @Ben314. Ici suit mon raisonnement:

Solutions dans : ,

Or, en prenant les suites extraites et , on a:



On confirme pour

D'où, les suites sont de la forme: , .

Avec vous des remarques sur mon raisonnement?
Merci.

[Ben314]

C'est tout à fait ça.
Et tu peut éventuellement écrire une ligne de plus consistant à écrire les parties réelles/imaginaires de A ainsi que de j^n et de j^2n pour retomber sur ce que dit Kolis çi dessus.

Après, il y a une question "métaphysique" consistant à savoir si on considère comme "plus simple" une expression de la forme ou une expression de la forme
Et je ne cache pas que, en ce qui me concerne, je considère la deuxième forme comme "bien plus simple" que la première ne serait ce que du fait que la première contient des fonctions transcendantes.
Mais je le redit, c'est une affaire de gouts et les gouts et les couleurs....

Pour donner un autre exemple, j'ai constaté (avec surprise) que certains considérait comme "plus simple" l'expression que la définition "usuelle" de la valeur absolue avec disjonction de cas.

[Doraki]

quand j'étais petit je trouvais les disjonctions de cas moches tandis que les (-1)^n et les cos(pi n/3) je les trouvais astucieux.
Maintenant c'est totalement l'inverse haha.

[zygomatique]

les élèves ne pensant plus avec la définition d'une fonction avec une formule il suffit de remplacer et calculer sans se préoccuper de quoi que ce soit ...

avec la définition d'une fonction par disjonction de cas donc avec plusieurs formules pour calculer il faut au préalable penser et réfléchir pur savoir dans quel cas on est ... c'est un effort supplémentaire que les élèves ne sont plus habitués à faire ...