Vitesse et temps de déplacement dans R2

[mamo]

Bonjour,

Voici un de mes exercices. J'ai plutôt compris le principe mais je me demande si mes réponses sont bien celles attendues...
Voudriez vous bien me dire si je suis partie dans la bonne direction?


Exercice:

Dans le plan R, quel temps minimum T(v) faut-il pour se rendre du point de coordonnées A=(0,-1) au point B=(3,0) sachant qu'on se déplace à vitesse v 1 sur l'axe des x et au dessus de l'axe des x et à vitesse 1 en dessous de l'axe des x?
Etudier la fonction T.


Résolution:

J'ai tout d'abord tracer un graphe pour me rendre compte de la situation. Le point A est en dessous de l'axe des x et le point B est dessus. Le segment {AB} est donc en dessous de l'axe des x, la vitesse est donc v=1.
On cherche T(1) = ?

On a d'après le théorème de Pythagore :





v = d ÷ T <=> T = d ÷ v
T(v) = d÷v
T(1) = d ÷ 1 = d

Donc d = {AB}

On a donc T(1) = 3,16

Il faut au minimum un temps de 3,16 unité de temps (ut) pour se rendre du point A au point B.

On étudie la fonction T : (c'est ici que tout devient étrange car je reste avec mon d )

T(v) = d÷v = ÷v
T'(v) = ≠ 0

Puis je trace mon tableau de variation à l'aide de T'(v) entre 0 et +∞ avec double barre au 0.
J'ai donc une fonction T(v) décroissante.


Merci d'avance d'avoir pris le temps de me lire ainsi que pour vos explications qui, j'en suis sure, me seront très utiles.

A bientôt,
Margaux.

[zygomatique]

salut

un énoncé bizarre ... puisque B = (3, 0) appartient à l'axe des abscisses ...

sinon

A = (0, -1) et B = (3, b) avec b > 0

soit M = (m, 0)

on calcule le temps mis pour parcourir AM et MB en fonction de M et on cherche le minimum ...

[mamo]

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour ta réponse. Pourquoi changes-tu mon énoncé?

Il s'agit bien de B = (3,0) dans l'exercice...

Je ne comprend pas bien ce que l'on essaye de faire en posant le point M = (m,0) peux-tu m'expliquer plus en détails?

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Le problème de ton calcul, c'est qu'il correspond uniquement à considérer le trajet en ligne droite allant de A à B alors que tout le Laïus de l'énoncé indique très clairement que ce n'est pas forcément la ligne droite qui donnera le temps de trajet le plus court (vu que les vitesse ne sont pas les mêmes partout).

Il me semble que, très clairement, on a intérêt à rejoindre l'axe des x AVANT le point B de façon à profiter d'une vitesse supérieure pour la fin du trajet.
Et ce que demande l'exo, c'est de déterminer précisément à quel endroit il faut rejoindre l'axe des x pour minimiser le temps de parcours.

Pour te donner un exemple archi simple, si on choisi d'aller de A à B en passant par le projeté orthogonal P de A sur l'axe des x alors on parcoure AP=1 à une vitesse de 1 puis PB=3 à une vitesse de v donc le temps de parcours est de T=1/1+3/v qui va clairement être inférieur à ton racine(10) lorsque v est grand : rien qu'avec v=3, ça donne T=2<racine(10).

[mamo]

Ahhhh oui je vois mieux d'accord, je vais m'y repencher, j'ai compris le principe !
Merci beaucoup, je reviendrais vers toi au besoin

Bonne soirée !

[zygomatique]

c'est exactement ce que je disais aussi ...

[mamo]

Bonsoir à vous deux

En m'y repentant voilà ce que j'ai réussi à faire :

On pose M (m;0) (comme on me l'avait conseillé) un point de l'axe des abscisses avec m compris entre 0 et 3.

On a alors, grâce au théorème de Pythagore appliqué au triangle AOM:
AM

On note n la distance OM


On sait que v = d ÷ T donc T = d ÷ v

D'où : T(v)= AM ÷ 1 + MB ÷ v
=


On cherche d'abord la valeur de n en fonction de v:

On note f(n) =


Puis : f'(n) = 0
Je trouve n =

Je remplace dans :
T(v) =

Ensuite je dérive T'(v) =

Puis je veux effectuer T'(v) = 0 pour trouver ou la dérivé s'annule et ainsi trouvé la vitesse minimum mais je n'arrive pas à m'en sortir sur T'(v) = 0.

Pouvez vous m'éclairer? Peut - être ai-je fais une erreur quelque part?

Merci de votre aide !

[zygomatique]

tu mélanges tout entre T et f , m et n, n et v ....

v est un paramètre (la vitesse sur l'axe des abscisses)

[mamo]

Ah bon? Pourtant j'essaie d'abord de chercher n pour lequel T sera minimum non... M est mon point, m son abscisses, n ma distance MB et v oui la vitesse sur l'axe des abscisses et on définie T en fonction de v non?

Ce que tu veux dire c'est que je dois prendre v comme si c'était une vitesse fixée? Mais du coup je dois m'y prendre comment?

[lionel52]

Pour que ça soit plus clair...

[Black Jack]

Je ne comprends pas trop le message de zygomatique.

L'approche du message 30 Oct 2016, 19:20 me semble correcte ... du moins au début. (et on peut bien entendu aussi faire autrement).

Erreur pour le calcul de f'(n) = 0 (il manque un carré)

On trouve : f'(n) = 0 pour n = RC(1/(v²-1))

Et donc, il faut aller en ligne droite de A vers le point de coordonnées (RC(1/(v²-1)) ; 0) et puis suivre l'axe des abscisses.

... Sauf qu'il faut déterminer sur quelle plage de v cela est correct.

Avec 0 <= n <= 3, on trouve que ce qui précède est valable si v >= (1/3)*RC(10)

Il reste donc à discuter ce qui se passe pour v dans [1 ; (1/3)*RC(10)[
*****

Si v >= (1/3)*RC(10), le temps de parcours (en passant par le point (RC(1/(v²-1)) ; 0)) est :

t = RC[1 + 1/(v²-1)] + [3 - RC(1/(v²-1))]/v (qui est <= à RC(10) s)


Pour v dans [1 ; (1/3)*RC(10)[, on aurait n > 3 ce qui ne convient pas

[Ben314]

Concernant le "domaine de validité" de la formule, normalement, il n'y a absolument aucune condition à vérifier à postériori si la méthode employé est correcte. Là, on peut :
- Soit prendre comme fonction (avec une valeur absolue) et chercher le minimum de f sur R tout entier mais il faut faire attention au fait que la fonction n'est pas dérivable en x=3 donc que si le minimum est en ce point là, on ne le repèrera pas en résolvant f'(x)=0.
- Soit prendre comme fonction et chercher le minimum sur [0,3] et dans ce cas, il faut faire attention au fait que le minimum risque d'être situé au bord du domaine et que dans ce cas, on ne le repèrera de nouveau pas en résolvant f'(x)=0.
Enfin, bref, dans les deux cas, il faut faire ça proprement avec un vrai tableau de variation sur l'ensemble de départ considéré considérée pas y aller "à la bourrin" en résolvant uniquement l'équation f'(x)=0 sans même réfléchir au sens de cette équation (i.e. sans savoir que l'abscisse du min d'une fonction n'annule pas forcément la dérivée).

En prenant l'option 2 (correspond à dire qu'il est évidement que le min sur R de la fonction du 1) sera atteint en un x entre 0 et 3, chose que l'on pourrait aisément démontrer par du calcul en vérifiant que f'<0 pour x<0 et que f'>0 pour x>3) on a d'où (en considérant v>0 et ) .
- Si , c'est à dire alors sur [0,3] donc f est minimale pour x=3.
- Sinon (i.e. ) f'<0 sur puis f'>0 sur donc le min de f est en

Et je ne cache pas que je ne trouve pas ça sain du tout de raisonner "tel le bourrin" en calculant uniquement la solution de f'(x)=0 pour ensuite "rectifier le tir" dans les cas où la solution obtenue est absurde : c'est pas parce que le résultat obtenu est "non absurde" que ça prouve qu'il est juste...
La seule façon d'être sûr que le résultat est correct, c'est d'utiliser une méthode correcte.