Dm maths spe

[mamaco860]

Bonjour j'ai un dm de spé maths a faire et je suis bloque c sur la divisibilité
Pour le premier exo c'est:
En rangeant n pièces de son puzzle, Claudia constate que:
Si elle les range par 5 il lui en reste 3
Si elle les range par 7 il lui en reste 2
Si elle les range par 9 il lui en reste 1
Si elle les range par 11 il ne lui en reste plus
Il faut déterminer le nombre de pièce sachant qu'il est inferieur a 2000 (le première question était de déterminer quatre diviseur premier de 2n-11)
J'ai compris mais je n'arrive pas a trouver la réponse ou du moins a expliquer un raisonnement convenable

Pour l'exo 2
On a Un= 2^3n-1 pour tout entier naturel n
J'ai déjà justifier que Un+1= 8Un+7
Mais il fait aussi démontrer que chaque Un est divisible par 7 est ce que quelqu'un peut m'explique comment on fait??
Merci d'avance

[titine]

On a Un= 2^3n-1 pour tout entier naturel n
J'ai déjà justifier que Un+1= 8Un+7
Mais il fait aussi démontrer que chaque Un est divisible par 7 est ce que quelqu'un peut m'explique comment on fait??
Merci d'avance

Par récurrence :
Initialisation : U1 = 7
Hérédité : Si U(n) divisible par 7 , U(n) = 7k
Et alors U(n+1) = 8U(n) + 7 = 8*7k + 7 = 7*(8k + 1) donc U(n+1) divisible par 7

[mamaco860]

Merci pour l'aide et vous ne pouvez pas m'aider pour l'exo 1??
S'il vous plait??

[zygomatique]

salut



une récurrence est donc triviale ...

[samoufar]

Bonjour,

Pour l'exercice 1, c'est une application du théorème des restes chinois (mais je doute fort qu'il ait été vu en terminale, sauf éventuellement des exemples en exercice).

Sinon ce problème utilise les congruences et le fait que 5,7,9 et 11 sont premiers entre eux deux à deux. Ça se fera certainement à coups de théorème de Bézout.

Commence par traduire l'énoncé en termes de congruences...

[Pseuda]

Bonjour,

Quelle était la question avec 2n -11 ?

Soit n le nombre de pièces. Comment peut-on traduire "Si elle les range par 5 il lui en reste 3" en terme de divisibilité ? Et : "Si elle les range par 7 il lui en reste 2" ?

Dès lors, tu peux remarquer que 35 divise quoi ? ...... tu dois aboutir à 2n -11.

[mamaco860]

D'accord sauf que le problème je n'ai pas vu les congruences j'ai vu que le division euclidienne
Faut il pas se servir de la première question qui est de déterminer quatre diviseurs premiers de 2n-11 ??
J'ai répondu 3/5/7/11

[Pseuda]

Mais quel était n dans la 1ère question ?

Comment peut-on traduire "Si elle les range par 5 il lui en reste 3" en terme de divisibilité ? : je n'ai pas fait allusion à une congruence, uniquement à une divisibilité. Comment, quoi divise quoi ?

Si elle en avait eu 3 de moins ....

Tu peux aussi l'exprimer avec une division euclidienne.

[mamaco860]

On peut traduit elle les range par 5 il lui en reste 3:
n= 5*q+3 soit n le nombre de pièce et q le nombre de groupe de 5
Pareil pour 7 il lui reste 2: n=7*q+2
35 = 2*23-11 ???

[Pseuda]

D'où sort le 23 ? Att, ce n'est pas le même quotient (q) pour les 2 divisions.

Pour ne pas s'encombrer avec des lettres, n= 5q +3 peut s'écrire aussi avec une divisibilité : 5 divise ?
Puis, tu auras : 7 divise ?

Il faut ensuite trouver un diviseur commun à une combinaison linéaire d'expressions qui contiennent n.

[mamaco860]

Le 23 sort de 35+11=46 et 46/2=23
Oui q n'est le même nombre car les groupes ne sont pas pareil
5divise n et 7 aussi mais il reste des pièces a la fin
n-3/5 = n-2/7= n-1/9= n/11 c ca??

[Pseuda]

Bon on peut le faire aussi avec les divisions euclidiennes :
n = 5 p + 3
n = 7 q + 2

Multiplie chacune des lignes pour avoir un diviseur commun : 35, c'est-à-dire la 1ère par 7, et la 2ème par 5.

Puis soustrais les 2 lignes. Tu dois obtenir une division de 2n par 35 : la plus petite solution est bien 23 (en ne tenant compte que de ces 2 lignes).

Tu peux continuer ensuite avec les 2 autres lignes (rangement par 9 (ou 3 ?) et par 11).

[mamaco860]

Je suis desoler mais j'ai du mal surtout ce qui me perturbe c que l'on fait avec 7 et 5 mais il y a aussi 9 et 11 il fait faire pareil??

[Razes]

Normalement tu dois avoir 4 équations et 5 inconnues (dont ton nombre) ceci te donnera plusieurs solutions et on doit choisir la plus petite des solutions.

[zygomatique]

posons n = 5.7.9.11.k + r avec 0 =< r < 5.7.9.11

n est multiple de 11 donc r € {0, 11, 22, ... , (5.7.9 - 1)11} = E

n = 5(7.9.11k} + r avec r - 3 multiple de 5

on élimine de E tous les éléments x tels que x - 3 n'est pas multiple de 5 et on obtient un nouvel ensemble E'

n = 7(5.9.11k) + r avec r € E' et r - 2 est multiple de 7

on élimine de E' tous les éléments x tels x - 2 n'est pas multiple de 7 et on obtient un nouvel ensemble E"

n = 9(5.7.11k) + r avec r € E" et r - 1 est multiple de 9

on élimine de de E" tous les éléments x tels que x - 1 n'est pas multiple de 9 et on obtient un nouvel ensemble F

dons F (et ce qu'on aurait pu faire dès le début) on ne conserve que les entiers r tels que n = 5.7.9.11k + r < 2000 <=> r < 2000 (car 5.7.9.11 > 2000 => k = 0)

[Razes]

Soit le nombre recherché , nous avons:
;

;

car (), d’où: (1);

car (), d’où: (2);

car (), d’où: (3);

Élimine en utilisant les équations (2) et (3) que peut tu conclure? Essais de déterminer minimal.

[zygomatique]

bon il a sorti l'artillerie lourde ....

[Razes]

J'oserais pas

[mamaco860]

Sauf que ce doit juste avec la division euclidienne et la divisibilité et non avec les congruences car je ne l'ai pas fait

[zygomatique]

j'étais effectivement parti de 11 et fait des décompositions comme toi ....

on peut continuer une sorte de récurrence

n = 11s = 11(5p + 3)

s = 5p + 3 <=> 4s = 20p + 12
4s = 7r + 2

7r = 20p + 10 <=> p = 7(3p - r + 1) + 3 = 7k + 3

donc n = 11s = 11(5p + 3) = 55(7k + 3) + 33 = 5.7.11k + 198

...