Exercice terminal S, suite

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ju972
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exercice terminal S, suite

par ju972 » 23 Oct 2016, 19:55

Bonjours , je suis en terminal S et j'ai du mal a trouvé se qu'on veut dans cette exercice:
Que peut-on dire de la suite √(2) ; √(2*√(2)) ; √(2*√(2* √(2 ... ) ?


Donc moi , j'ai uniquement trouvé Un+1=√(2*Un)
Après pour moi se n'est pas une suite arithmétique, et je ne vois pas comment ça pourrait être une suite géométrique.

Merci beaucoup pour votre aide



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Ben314
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Re: exercice terminal S, suite

par Ben314 » 23 Oct 2016, 20:34

Salut,
Jusque là, c'est pas mal, modulo que, pour caractériser entièrement une suite définie par une relation du type comme la tienne, il faut aussi donner le premier terme.
Donc une traduction complète de l'énoncé, ça serait pour tout et (ou bien si tu préfère vu que l'énoncé n'impose rien concernant la numérotation, mais bien sûr, dans ce cas, il faut écrire pour tout au dessus).

Sinon, effectivement, on peut constater qu'elle n'est ni arithmétique, ni géométrique.
Mais il y a d'autres trucs qu'on peut éventuellement étudier : est-elle monotone ? majorée/minorée ? admet-elle une limite ? Si oui, laquelle ?

Après, si tu n'as absolument aucune indication concernant la démarche à suivre, ça risque de ne pas être évident.
Ce que tu peut (voire tu doit) évidement faire, c'est de calculer à la machine (voire avec un tableur, ça va plus vite) les premier termes pour emmètre des "conjectures" (par exemple, "elle semble croissante")
Ensuite, un truc qu'on fait souvent (mais je suis pas sûr que ce soit trop de niveau Lycée), c'est de supposer qu'elle a une limite L et de regarder quelle peut être la valeur de L.
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Razes
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Re: exercice terminal S, suite

par Razes » 23 Oct 2016, 20:42

On peut dire que c'est une suite logarithmique:

; avec :

Étudier la suite

ju972
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Re: exercice terminal S, suite

par ju972 » 23 Oct 2016, 21:53

Razes, je n'ai pas encore fait les suites logarithmiques, je crois que mon prof a dit qu'on verra ça bientôt . Donc je sais pas si je peux en parler dans un dm

Ben314, j'ai pris Un= √(2)
elle est minorée par 0 car un racine ne peut pas être négative
vu les premier termes, la suite semble croissante

Et on a fait les limites L mais je sais jamais comment la trouver


En tous cas merci beaucoup à vous deux

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Ben314
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Re: exercice terminal S, suite

par Ben314 » 23 Oct 2016, 22:06

Pour utiliser la méthode suggérée par Razes, on est pas obligé de savoir ce qu'est une "suite logarithmique" et ça peut être intéressant comme méthode vu que ça utilise un truc assez classique au niveau Lycée : les suites Arithmético-Géométrique dont l'étude théorique générale n'est pas au programme des Lycées (donc on n'y utilise jamais le terme), mais il y a un paquet d'exercices dans les bouquins qui traitent des cas particuliers.
Par contre, bien que conduisant (évidement) aux même résultats que la méthode à laquelle je pensait, c'est assez différent comme approche donc a mon avis, il faut faire soit l'un soit l'autre (ou bien l'un PUIS l'autre si ça t'intéresse), mais pas les deux en même temps.

Sinon, en réfléchissant un peu plus (comme quoi ça sert), on peut tout à fait commencer à écrire des trucs sans avoir calculé la valeur de l'éventuelle limite.
Donc, tu as vu que la suite était clairement minorée (par 0) et qu'elle semblait croissante.
Arrive tu à démontrer qu'elle est effectivement croissante ?

Indication : Selon la façon dont tu t'y prend, la réponse à la question çi dessus, risque d'être "non : pour y arriver, ben il faudrait avoir démontré un certain truc avant". Lequel ?
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Razes
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Re: exercice terminal S, suite

par Razes » 23 Oct 2016, 22:41

Effectivement, tu as le droit de passer par une suite intermédiaire en l’occurrence , d'ailleurs en Terminale, je ne savais pas ce que c'était une suite logarithmique et on utilisait cette astuce pour faire nos calculs.

A moins qu'il n y ait d'autres informations à exploiter dans l'énoncé. (car ça arrive qu'on donne des indications pour la résolution pas à pas)

ju972
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Re: exercice terminal S, suite

par ju972 » 23 Oct 2016, 23:13

Je n'ai pas plus d'information dans l'énoncé

Là j'ai cherché à montrer que la suite est croissante, donc j'ai démontré par récurrence que Un+1≥Un
et là comme Un est croissante et minorée alors Un est divergente


Après je n'ai pas vraiment compris pour Vn=lnUn
qu'est ce que c'est ln? et Vn représente quoi ?

Pseuda
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Re: exercice terminal S, suite

par Pseuda » 23 Oct 2016, 23:29

Tu n'as pas encore dû voir la fonction ln (logarithme népérien), au programme de TeS et ES.

ju972
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Re: exercice terminal S, suite

par ju972 » 23 Oct 2016, 23:30

Pseuda, non je n'ai pas encore vu ça

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Re: exercice terminal S, suite

par Pseuda » 23 Oct 2016, 23:31

Bon, tu le verras en cours d'année. ;)

samoufar
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Re: exercice terminal S, suite

par samoufar » 23 Oct 2016, 23:46

Bonsoir,

ju972 a écrit:comme Un est croissante et minorée alors Un est divergente ?


Un contre-exemple pas trop farfelu : La suite nulle :D (ou alors des si tu veux une croissance stricte).


À ce stade de l'année tu ne sais pas encore ce qu'est j'imagine. Tu verras ça en cours d'année :) En fait ça permettait de poser une autre suite de terme général qui est arithmético-géométrique, donc relativement simple à étudier (pourvu de savoir le faire toutefois, et de toutes façons on peut faire sans).


Sinon je te conseille de faire un schéma (on ne le répétera jamais assez) de la situation : traces la fonction ainsi que la première bissectrice, etc... Ça te permettra de conjecturer si la suite est divergente, et le cas contraire de conjecturer un majorant de la suite (puisqu'elle est croissante). Dans ce cas tu sais que comme est continue, ta suite converge vers un point fixe de . Encore une fois le graphique t'aidera ;)

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Re: exercice terminal S, suite

par Razes » 24 Oct 2016, 00:36

Ta suite est strictement positive, croissante et minorée, ceci ne justifie pas le fait qu'elle divergerait. (D'ailleurs elle converge)

Ce qui te reste à justifier est qu'elle est majorée. On va user d'une astuce pour trouver le majorant de la suite. Soit ce majorant strictement positif, donc ; donc .

Pour qu'on ait le même majorant , il faut que:

La valeur est à écarter car doit être strictement positif; donc la solution restante est

Démontre si tu veux par récurrence que est majorée par

Conclure à propos de la convergence. Pose la limite de cette suite et détermine la en passant à la limite.

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Re: exercice terminal S, suite

par Ben314 » 24 Oct 2016, 00:42

ju972 a écrit:Là j'ai cherché à montrer que la suite est croissante, donc j'ai démontré par récurrence que Un+1≥Un
Il y a un truc qui m'étonne un peu : si on utilise pas une astuce (passablement astucieuse...), normalement, pour montrer la croissance de la suite, il faut d'abord avoir démontré qu'elle est majorée par 2.

Comment a-tu fait pour démontrer la croissance de la suite ?
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Re: exercice terminal S, suite

par samoufar » 24 Oct 2016, 00:51

Razes a écrit: On va user d'une astuce pour trouver le majorant de la suite.


Ça se voit aussi très bien sur un schéma :)

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Re: exercice terminal S, suite

par Razes » 24 Oct 2016, 00:58

samoufar a écrit:
Razes a écrit: On va user d'une astuce pour trouver le majorant de la suite.


Ça se voit aussi très bien sur un schéma :)
Je suis entièrement d'accord que ça se voit sur un schéma et on peut même procéder à une résolution graphique si c'est demandé de le faire graphiquement.

Mais on peut aussi le faire sans graphique .

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Re: exercice terminal S, suite

par Pseuda » 24 Oct 2016, 11:17

Ben314 a écrit:
ju972 a écrit:Là j'ai cherché à montrer que la suite est croissante, donc j'ai démontré par récurrence que Un+1≥Un
Il y a un truc qui m'étonne un peu : si on utilise pas une astuce (passablement astucieuse...), normalement, pour montrer la croissance de la suite, il faut d'abord avoir démontré qu'elle est majorée par 2.

Comment a-tu fait pour démontrer la croissance de la suite ?

Bonjour Ben314,

Je réponds à la place de l'élève qui ne revient pas. J'ai comme l'idée qu'il a utilisé la récurrence pour démontrer la croissance de la suite : ; et si , alors .

Cela permet de démontrer que la suite est croissante sans avoir préalablement démontré qu'elle était majorée par 2. ;)

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Re: exercice terminal S, suite

par Ben314 » 24 Oct 2016, 13:28

Effectivement, c'est une troisième méthode à laquelle je n'avais pas pensé...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

ju972
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Re: exercice terminal S, suite

par ju972 » 26 Oct 2016, 17:38

Bonjour et merci beaucoup à tous.
Je suis désolé je n'ai pas pu me connecter avant.
Ben314, effectivement j'ai utilisé la récurrence pour montrer que Un+1≥Un et donc croissante, comme l'a dit Pseuda .

samoufar, merci pour l'explication de Vn=lnUn , et pour le schéma tu m'as dit " traces la fonction f(x)=√(2*x) ainsi que la première bissectrice, etc... " pour quoi je doit tracer f(x)=√(2*x)? je sais que dans ce cas on remplace Un par x , mais c'est pas pareil que la courbe de la suite Un , si ?

Razes , jusqu'a Un+1=√(2*Un)≤√(2*a) j'ai compris , mais après pourquoi tu trouves a=√(2*a)? parce que a est majorant de la suite et que √(2*a) est majorant de Un+1 donc a=√(2*a)?
Et comment tu fais pour passer de a=√(2*a) à √(a)*(√(a)-√(2))=0 ?


encore merci pour tout

samoufar
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Re: exercice terminal S, suite

par samoufar » 26 Oct 2016, 22:48

Bonjour,

Vous avez sans aucun doute tracé des courbes pour étudier des suites (le fameux escalier où on reporte les points sur la première bissectrice puis sur la courbe). Ça permet de voir le comportement de la suite, et notamment de conjecturer sa nature, sa monotonie et d'éventuelles bornes.

ju972
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Re: exercice terminal S, suite

par ju972 » 29 Oct 2016, 00:26

bonjour samoufar, je vois tout à fait merci beaucoup

 

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