Unicité (equation fonctionnelle)

[abel]

Bonjour à tous. Voici mon pb :
L'énoncé conduisait à démontrer qu'une certaine fonction f continue vérifiait les conditions suivantes :
et
On me demande ensuite de prouver que si g une fonction C0 vérifie ces conditions alors g=f.
Je ne vois pas comment prouver ceci, j'ai essayé des changements de variables mais cela n'a rien donné.
Merci à ceux qui m'aideront.

[bilbon]

Bonjour,

peut tu donner la fonction f en question, cela donnera peut être des idées pour montrer son unicité.

Merci

[abel]

Dsl
f est la limite uniforme de la suite de fonction telle que :

Je viens de voir que je n'ai pas dit que f est supposée C1 et non C0, encore désolé

[Imod]

Et ?

Imod

[tize]

C'est peut être bête ce que je vais dire...mais ne peut on pas dire qu'il s'agit d'une equation différentielle (solution e.v. de dim 1) avec une condition initiale donc une seule solution ?

[alben]

C'est peut être bête ce que je vais dire...mais ne peut on pas dire qu'il s'agit d'une equation différentielle (solution e.v. de dim 1) avec une condition initiale donc une seule solution ?

Ca semble logique mais je ne suis pas sûr que l'on ait le droit ... :hein:
Sinon, on a quelques symétries sur f et f' et si f' s'annule en un point, il s'annule en une infinité (dénombrable) de points. Je pense qu'on peut en déduire que f est croissante

[Yipee]

C'est peut être bête ce que je vais dire...mais ne peut on pas dire qu'il s'agit d'une equation différentielle (solution e.v. de dim 1) avec une condition initiale donc une seule solution ?

Ce n'est pas une équation différentielle au sens où on l'entend pour appliquer Cauchy-Lipschitz.

[tize]

Ce n'est pas une équation différentielle au sens où on l'entend pour appliquer Cauchy-Lipschitz.

Bonjour Yipee,
pourrais -tu m'en dire plus s'il te plait...car je ne comprend pas très bien.
On ne peut pas appliquer Cauchy-Lipschitz parce que si avec , G n'est pas une fonction de deux variables réelles, c'est ça ?

[alben]

bonjour,
Je crois que le théorème n'est valable que pour une relation locale, c'est à dire que f' et f sont en relation pour un point unique. tu n'as pas f(x)-f²(x) mais f(x-x²).

Sur la question, de manière très intuitive, je pense que dès l'instant où fo est bornée, la relation de récurrence implique que f ne dépend pas de la fonction de départ.
Par exemple, en posant
on a
Quand n grandit, le poids de la fonction de départ devient moindre car l'intervalle "utile" de fo tend vers zéro et le coeff aussi.

[Yipee]

Bonjour Yipee,
On ne peut pas appliquer Cauchy-Lipschitz parce que si avec , G n'est pas une fonction de deux variables réelles, c'est ça ?

Voila. Rien ne dit que l'on peut trouver une fonction G(x,y) telle que . Bref, pas de Cauchy-Lipschitz.

[abel]

Maintenant nous avons eu le corrigé donc je donne la réponse proposée pr ceux que ca intersse.
-Il faut remarquer d'une part que t-t²<=1/4 pour t dans [0,1]
-Il suffisait de travailler avec h=f-g = intégrale( (h)(t-t²)....) donc en posant s=sup(h) sur [0,1/4] on arrive à h(x)<=s<=x*s<=1/4*s car x<=1/4 ce qui donne ensuite que s<=0 donc s=0 donc h=0 sur [0,1/4] donc h=0 sur [0,1] vue la formule intégrale.

Voilà.
Merci d'avoir pris de votre tps pr ce problème.

[tize]

Merci Yipee pour ta reponse et merci Abel pour le corrigé