Z paracompact?

[Archytas]

On munit de la topologie de Furstenberg: les ouverts U sont tels que et le vide. Je voudrais savoir si est paracompact pour cette topologie... J'ai pas trop d'idée, j'ai ni réussi à montrer que c'est le cas, ni réussi à trouvé de contre-exemple.
Vous avez des idées?

[Ben314]

Salut,
De mémoire (donc à vérifier soigneusement vu qu'en ce qui me concerne... ça date...)
1) La topologie de Furstenberg est métrisable (pas archi-trivial mais pas diabolique non plus il me semble)
2) Tout espace métrique est paracompact (pas mal la m... et il faut nécessairement utiliser l'axiome du choix)

P.S. Comme c'est vraiment pas des résultats récents et que c'est "pas mal classique", je pense que tu doit tout trouver sur le Net.

[Archytas]

La seule est unique fois que j'ai vu cette topologie c'est dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers, je viens de trouver un pdf en ligne où la métrique en question est détaillée! Je m'amusais à essayer de voir ce que donnaient les cohomologies de faisceaux sur des espaces topologiques exotiques mais pour faire ça on doit manipuler des espaces séparés et paracompactes . Du coup la seule chose que j'ai réussi à démontrer c'est que l'espace est séparé, ce qui est complétement inutile sachant qu'il est métrique haha!
Merci pour votre aide. D'ailleurs en cherchant une métrique sur Z je m'étais posé la question de savoir si
vous savez si c'est une distance? je bute sur le troisième axiome. Ce serait une métrique qui fait que plus des entiers ont de diviseurs communs plus ils sont proches!

[Ben314]

Prise textuellement, si c'était une métrique, ça serait plutôt sur mais on pourrait sans doute la prolonger à , voire éventuellement à en posant d(a,b)=1 lorsque ab<0.
Sinon, je viens de regarder et effectivement, ça semble pas immédiatr de savoir si l'inégalité triangulaire est vérifiée ou pas.

[Doraki]

Moi j'aurais plutôt pris d(a,b) = 1/ le plus petit entier n > 0 tel que n! divise (a-b).

[Archytas]

Ah oui en effet ça pause un problème pour d(a,-a) =0 !
Dorai, ça ressemble vachement à celle de https://arxiv.org/pdf/1008.0713.pdf (p2), je me demande si c'est pas la même ! Enfin je pense pas que la condition k! |n est plus forte que celle 2|n, 3|n, ..., k|n

[Ben314]

Si je me suis pas gouré, ta distance (celle de Doraki, j'ai pas encore regardé) a l'air de vérifier l'inégalité triangulaire, mais la façon dont je m'y prend est passablement calculatoire.
Si et alors .
Si on écrit ensuite l'inégalité triangulaire et qu'on coupe les différents produits en "rondelles adaptées", on obtient un truc de la forme
avec
Vu la monotonie du bidule en et , pour montrer qu'une telle inégalité est vrai, il suffit de montrer qu'elle est vraie pour et ça se fait relativement facilement, par exemple en évaluant le max de pour et fixés.

[Archytas]

Je connaissais pas la formule du nombre de diviseurs en fonction des puissances de nombres premiers, c'est bon à savoir!