Arithmétique L2

[Thomas91]

Bonsoir, j'essaie de finir un DM mais je bloque ici :

On appelle carré parfait, le carré d'un entier.

(a) Montrer que tout nombre premier impair est la différence de deux carrés parfaits.
(b) Vérifier que cette écriture est unique.
(c)Est-ce que tout nombre entier, pas forcément premier peut s'exprimer comme différence de deux carrés parfaits? Si oui, cette écriture est-elle unique?

Mes réponses:

(a) Je prend une la suite Un qui est la différence des carrés parfaits consécutifs ( pour tout n supérieur ou égal à 1) Un = n^2 -(n-1)^2 =2n-1
Ce qui me donne la suite des entiers impairs.
Donc tout entier impair peut s'écrire comme étant la différence de deux carrés parfaits, et ainsi tout nombre premier impair s'écrit comme la différence de deux carrés parfaits.

(b) Je vois pas comment faire là

(c) Là j'ai conjecturerais que non, j'arrive à construire tous les entiers impairs mais aussi la suite
Vn = n^2 - (n-2)^2
=4n-4
Qui me donne les multiples de 4, mais je dirais qu'on ne peut pas construire les entiers pairs multiples de 2.

[zygomatique]

salut

un entier impair peut-il être la différence de deux carrés non consécutifs (différence des carrés de deux entiers consécutifs) ?





montre que m = n en soustrayant membre à membre...

c/ il suffit de prendre un contre exemple : 2 est-il la différence de deux carrés ....

est multiple de 2


si p et q ont même parité alors est pair donc multiple de 2 (comme tout multiple de 4)

par contre un multiple de 2 n'est pas toujours multiple de 4

...

[Ben314]

un entier impair peut-il être la différence de deux carrés non consécutifs (différence des carrés de deux entiers consécutifs) ?

Je suis pas sûr d'avoir bien compris :
105 = 54²-53² = 19²- 16² = 13²-8² = 11²-4²

[Thomas91]

Oui, 5^2-2^2= 21
et 11^2-10^2=21 aussi

Pour la b c'est donc un raisonnement par l'absurde que je dois écrire?
je suppose qu'il existe deux écriture l'une avec m l'autre avec n
et j'arrive à
2n+1=2m+1
n=m
donc absurde et unicité ?

pour la question c) je te suis mais je comprend pas pourquoi le contre exemple avec 2

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour la b), tu peux utiliser l'identité remarquable . Si p premier = , que peux-tu dire de n et m ?

Pour la c), tu peux utiliser la même identité, et étudier les cas selon la parité de n et m.

Par exemple, 14 ne peut pas s'écrire comme la différence de 2 carrés parfaits.

[Thomas91]

si p est premier, (n-m) divise p ou (n+m) divise p
Je peux dire que n-m et n+m sont premiers entre eux?

si p^2-q^2 n'ont pas la même parité :
p=n+1 et q=n
p^2-q^2=2n+1
on peut alors construire tous les impairs

s'ils ont la même parité :
p=2+2 et q=n
p^2-q^2=4n+4
on peut alors construire tous les multiples de 4 (mais pas les multiples de 2)
ça suffit comme démonstration?

[Thomas91]

Ah, pour la b) je dirais :
Si p est premier, il n'admet que deux diviseurs, 1 et lui même, donc p=n^2-m^2=(n+m)(n-m)
donc n-m=1 et n+m=p est l'unique combinaison possible, c'est ça?

[Ben314]

Heu......
Je pense qu'il faudrait un minimum revoir le B-A-BA concernant la notion de divisibilité.
Lorsque tu écrit que p=(n-m)(n+m), alors, ce que ça implique (par définition même) que n-m divise p ET que n+m divise p (et jusque là, que p soit premier ou pas, ben ça change absolument rien à l'affaire !!!)

Ensuite, effectivement, les seuls diviseurs positifs d'un nombre premier p, c'est 1 et p mais les diviseurs "tout court", il y en a quatre : 1,-1,p et -p et des façons d'écrire p sous forme d'un produit, il y en a aussi 4 : p=1xp=px1=(-1)(-p)=(-p)x(-1).
Donc il y a un petit "quelque chose à dire" pour justifier que n-m=1 et que n+m=p (pourquoi pas n-m=p et n+m=1 ou bien n-m=-p et n+m=-1 ?)

[Thomas91]

Ah oui..
Pour la justification :

si n-m=p, alors n+m=1
si n-m=-p, alors n+m=-1
si n-m=-1, alors n+m=-p
si n-m=1, alors n+m=p

[Pseuda]

Ah oui..
Pour la justification :

si n-m=p, alors n+m=1
si n-m=-p, alors n+m=-1
si n-m=-1, alors n+m=-p
si n-m=1, alors n+m=p

Bonjour,

On est bien d'accord là-dessus. Mais ceci ne justifie pas que la seule solution possible est : n-m=1 et n+m=p. D'où on en déduit (n,m) l'unique couple solution.

[zygomatique]

un entier impair peut-il être la différence de deux carrés non consécutifs (différence des carrés de deux entiers consécutifs) ?

Je suis pas sûr d'avoir bien compris :
105 = 54²-53² = 19²- 16² = 13²-8² = 11²-4²

justement c'était pour demander pour l'unicité de l'écriture

on a évidemment

mais était-ce la seule ?

et tu viens de répondre que non ... par un exemple


mais pardon j'avions pas vu que dans la première question on parlait d'impair premier ...