Anneaux quotients

[Ncdk]

Bonsoir,

Je pense pas avoir bien compris l'introduction de ce qu'est un anneau quotient.

Je vois comment c'est définit mais j'ai peur de pas bien comprendre le sens, en fait si on prend I un idéal de A et qu'on étudie A/I, c'est quoi ce A/I de quoi il est fait ? La manière dont s'est introduit me parle pas vraiment, je sais pas si on peut "imager" ce qu'est un anneau quotient.

J'ai l'impression que ça ressemble à une sorte de sous-groupe, en fait on prend x,y dans A et on regarde si x-y est dans I. Qu'est-ce que ça signifie ? Qu'on élargit la vision d'idéal, c'est-à-dire qu'il existe des éléments de l'anneau qui sont pas forcément dans I mais que pourtant leur somme y est ?
On prendrait les éléments "lié" à I en quelque sorte ? (C'est peut-être lié qui signifie lié par une relation d'équivalence).

Merci de votre aide

[samoufar]

Bonsoir,

La structure d'idéal est compatible avec la relation d'équivalence . L'anneau-quotient est alors l'ensemble des classes d'équivalence de cette relation d'équivalence.

Pour voir ce que c'est de manière plus concrète, regardes l'anneau-quotient , qui désigne l'ensemble des classes d'équivalence de la relation de congruence modulo .

[Ben314]

Salut,
Visiblement, c'est la notion d'ensemble quotient que tu ne comprend pas et pas spécifiquement celle de quotient d'un anneau par un idéal. Dans le temps, on voyait ça au collège (pour construire les rationnels et les vecteurs) mais ça a été petit à petit reculé car considéré comme "trop dur".
Le principe est pourtant assez simple : on a un ensemble X et une relation d'équivalence R sur cet ensemble et l'ensemble quotient, c'est l'ensemble des classes de X suivant la relation R. Le but est en général de crééer un nouveau type d'objets.
Le premier exemple qui me vient à l'esprit est celui où X est un ensemble d'objets et où la relation R est "être de la même couleur que" (vérifie que c'est bien une relation d'équivalence). La classe d'équivalence d'un objet x pour cette relation, c'est l'ensemble des objets qui sont de la même couleur que x. Considérer l'ensemble quotient X/R, ça veut juste dire qu'on considère comme étant un seul "élément" l'ensemble des objets d'une couleur donnée (c'est un élément de X/R). Le but c'est bien sûr de dégager la notion de "couleur" en partant de la relation "être de la même couleur que".

Et sinon, ça n'a rien à voir avec la notion de sous-quelquechose (sous groupe/sous anneau/sous espace vectoriel,...) vu que les élément d'un sous groupe, ce sont des éléments du groupe de départ alors que les élément d'un quotient ne sont pas des éléments de l'ensemble de départ, mais des ensembles d'éléments de l'ensemble de départ.

[Ncdk]

Bonjour,

Merci pour vos réponses, la mienne est assez tardive mais je voulais en savoir plus sur la notion avant de répondre. J'ai pu en parler avec mon prof de TD qui m'a dit que ça servait à rien de m'expliquer par un exemple si je comprenais pas les exemples qui nous avait donné plus tôt, ça risqué même de m'embrouiller, il m'a dit de d'abord savoir ce que c'est une relation d'équivalence et de comprendre ce que sont les classes d'équivalences pour des objets mathématique, notamment ceux qu'on utilise en algèbre, et ensuite je pourrais m'attarder à la notion d'anneaux quotients et ça viendra tout seul selon lui

C'est vrai que j'ai pas tellement de soucis avec la définition que m'a donné samoufar, c'est plus clair maintenant, surtout avec des exercices dessus. Concernant l'explication de Ben, c'est bien plus clair, surtout ça me montre ce qu'on manipule et la phrase "Considérer l'ensemble quotient X/R, ça veut juste dire qu'on considère comme étant un seul "élément" l'ensemble des objets d'une couleur donnée (c'est un élément de X/R)" me dit pourquoi c'est plus sympa de travailler avec les anneaux quotients, car les éléments de ce quotient regroupe pleins d'éléments de l'anneau ? Vu que ça garde une structure d'anneau, c'est bien plus puissant de travailler avec ? C'est ça la raison où c'est bien plus compliqué que ça.

[Ben314]

Personnellement (donc c'est discutable...), je ne sais pas si je dirais que c'est "bien plus puissant" : si ça a été viré des programme du collège, puis du Lycée, puis (quasiment) des deux premières années de Fac., c'est certes que la notion était très souvent mal comprise, mais aussi que, dans un certain nombre de cas, on peut s'en passer (modulo éventuellement d'alourdir le discours).
Par exemple, a mon époque, lorsque l'on faisait de l'arithmétique au Lycée on introduisait évidement l'anneau quotient Z/nZ et le jour où la notion d'espace quotient a été viré des programmes, on peut pas dire que ça ait franchement chamboulé le chapitre en question vu qu'il a suffi dans le cours et les exos de replacer tout ce qui s'écrivait "classe(x)=classe(y)" (dans Z/nZ) par du "x congru à y modulo n" pour traduire exactement la même chose (et pour cause !).
Dans un tel exemple de quotient, là ou tu y gagne principalement, c'est pas au niveau de ce que tu va démontrer vu que c'est exactement la même chose (avec Z/nZ ou en terme de congruence), mais plutôt au niveau de la concision des théorèmes : si tu n'utilise que les modulo, il va falloir écrire tout une série de propositions du style "si a congru à b et a' congru à b' alors a+a' est congru à b+b'" alors qu'avec les quotient, il te suffit d'écrire que "Z/nZ est un anneau" pour tout résumer en un seul résultat (puis ensuite que Z/nZ est un corps ssi Z/nZ est intègre ssi n est premier pour aussi résumer pas mal de trucs en un seul théorème très court).
Mais de nouveau, là ou tu voit que ça ne change pas grand chose, c'est que si tu regarde comment on fait pour démontrer que "Z/nZ est un anneau" ben au fond, on montre que si a congru à b et a' congru à b' alors a+a' est congru à b+b' (= démonstration que nZ est stable pour l'addition).

Enfin bref, dans un cas tel que celui de Z/nZ, je ne dirais pas que c'est "plus puissant" que les congruences, mais uniquement que c'est "plus pratique" et aussi (surtout ?) que ça permet de bien mieux comprendre pourquoi il y a "plus que des analogies" entre le calcul sur les entiers et le calcul sur les polynômes (Z et K[X] sont tout les deux des anneaux Euclidiens)