Récurrence

[Coquard]

Voici mon exercice :

La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par :
U0=1
Un+1=((n+2)Un+1)/(n+1)

1. Calculer U1, U2, U3
2. Que peut-on conjecturer pour la suite (Un) ?
3. Conjecturer alors une expression de Un en fonction de n
4. Démontrer par récurrence la conjecture de la question 3


1. U1=3 ; U2=5 ; U3=7 (je passe les calculs)

2. On peut conjecturer que la suite Un est arithmétique de raison 2.

3. Un=n*r+U0=2n +1
On peut conjecturer que Un=2n +1

4. Pour n=0, Uo=1 et 1>0 donc U0>0
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k donné : Uk=2k +1 et on démontre alors que la propriété est vraie pour l'entier suivant k+1 : Uk+1=2k+1 +1.
Par définition : Uk+1=((k+2)Uk+1)/(k+1)
Par hypothèse de récurrence : Uk= 2k +1

Je ne vois pas comment faire la suite, pouvez-vous me donner une piste (assez explicite) ?

[zygomatique]

salut

énoncé incompréhensible sans écrire les indices convenablement ...

ainsi u_{n + 1} permet de comprendre ta formule ....par exemple ...

[Coquard]

énoncé incompréhensible sans écrire les indices convenablement ...

ainsi u_{n + 1} permet de comprendre ta formule ....par exemple ...

Lorsque Uk ou Un est collé avec le +1, le +1 va avec le n ou le k et s'il y a un espace le +1 ne va pas avec...

[Coquard]

Bref je le refais...

Voici mon exercice :

La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par :
U0=1
Un+1=((n+2)U{n+1})/(n+1)

1. Calculer U1, U2, U3
2. Que peut-on conjecturer pour la suite (Un) ?
3. Conjecturer alors une expression de Un en fonction de n
4. Démontrer par récurrence la conjecture de la question 3


1. U1=3 ; U2=5 ; U3=7 (je passe les calculs)

2. On peut conjecturer que la suite Un est arithmétique de raison 2.

3. Un=n*r+U0=2{n} +1
On peut conjecturer que Un=2{n} +1

4. Pour n=0, Uo=1 et 1>0 donc U0>0
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k donné : U{k}=2{k} +1 et on démontre alors que la propriété est vraie pour l'entier suivant k+1 : U{k+1}=2{k+1} +1.
Par définition : U{k+1}=((k+2)U{k+1})/(k+1)
Par hypothèse de récurrence : U{k}= 2{k} +1

Voilà...

[triumph59]

Bonjour,

Tu peux passer par l'éditeur complet + éditeur d'équation pour avoir un affichage plus compréhensible.

Sinon tu as tous les éléments pour conclure

et

en remplaçant dans l'expression de , par tu arriveras au résultat

... je te laisse poursuivre

[Coquard]

J'ai beau essayer plusieurs manière de faire, à chaque fois je n'arrive pas à me débarrasser du k+1 (ou n+1) en bas...

[triumph59]

je te conseille de développer

tu arrives alors à et là tu peux isoler un "n+1" au numérateur en remplaçant par

Je te laisse travailler sur la partie en mettant 2 en facteur tu vas trouver une expression de la forme

Je te laisse poursuivre ...

[Coquard]

En effet, j'ai développé comme tu l'as fait.
Ça donne : ((2k^2+4k+2)/(k+1))+1=((2(k^2+2k+1))/(k+1))+1=((2(k+1)^2)/(k+1))+1=((2(k+1)(k+1))/(k+1))+1=2(k+1)+1=2k+2+1=2k+3

Peux-tu me le confirmer ?

[zygomatique]

si alors cette dernière expression permet de calculer aisément

...

[triumph59]

Tu as développé un peu trop ...

Ça donne : ((2k^2+4k+2)/(k+1))+1=((2(k^2+2k+1))/(k+1))+1=((2(k+1)^2)/(k+1))+1=((2(k+1)(k+1))/(k+1))+1=2(k+1)+1 ici tu as le résultat et donc tu as démontré pour k+1 CQFD

[Coquard]

Exact !
Merci beaucoup pour ta précieuse aide !

[triumph59]

De rien, bonne continuation et au plaisir