Démonstration Vecteurs Colineaires 1ère S

[sweetassbaby]

Bonjour à tous!!

Dans mon cours j'ai une demonstartion concernant la colinearite de deux vecteurs sauf que je ne comprends pas du tout, je vous prie de me l'expliquer s'il-vous-plaît. Je vous l'écris:


Soient vecteurU (x;y) et vecteurV (x';y') deux vecteurs dans un repère orthonormé.
VecteurU et vecteurV sont colineaires ----> xy'-x'y=0

1) Supposons que x' pas egal a 0 et y' pas egal à 0.

vecteurU (x;y) et vecteurV (x';y') colineaires:
-k appartient R, vecteurU= kvecteurV.
- (c'est sous forme de système):
x=kx'
y=ky'

x/x'=k
y/y'=k

x/x'=y/y'

xy'=x'y

xy'-x'y=0.

2) Supposons maintenant que x'=0
VecteurU (x;y) et vecteurU(0;y') colineaires:
-k appartient à R, vecteurU=kvecteurV
-x=0 et y=ky'
xy"=0=x'y
-xy' w x'y = 0
Un rausonnement analogue pourrait être envisagé pour y'=0.

Voilà je n'ai pas compris le 1) ni le 2). Mais sinon je sais comment calculer deux vecteurs pour savoir si ils sont colineaires mais cette demonstartion je ne comprends rien.
Merci

[zygomatique]

salut

quelle est la définition de deux vecteurs colinéaires ?

[sweetassbaby]

Bonjour pour moi deux vecteurs colineaires sont des vecteurs qui ont la même direction, et qui sont parralles.

[sweetassbaby]

Parallèles*

[zzoe]

Bonjour,
Le raisonnement montre que si 2vecteurs sont colinéaires, alors xy'-yx'=0

On part donc de 2 vecteurs colinéaires u et v.

La 1e partie suppose que les coord x' et y' de v ne sont pas nulles.
En effet dans ce cas, on est sûr qu'il existe un réel k non nul tel que vect(u)=k vect(v) c'est-à-dire que vec(u) est un "multiple" de vect(v).
Les coordonnées de v sont alors des mult des coord de u c'est-à-dire
x=kx'
y=ky'

En exprimant k dans chacune des égalités, on a k=x/x' et k=y/y' d'où x/x'=y/y'. (On peut diviser car les nb x' et y' sont différents de 0- C'est pour cela qu'on a fait la supposition du début. )

Il suffit ensuite de multiplier les 2 membres de l'égalité par x'*y 'ou de dire que "les produits en croix" sont égaux et on a x'y=y'x d'où l'égalité à prouver.

La partie 2 suppose que x'=0.
(Attention, tu as fait qq fautes de frappes corrigées ci-dessous)
On a donc VecteurU (x;y) et vecteurU(0;y') colinéaires

Il existe donc un réel k qui appartient à R, tel que vecteurU=kvecteurV
D'où x=k*0=0 et y=ky'
On peut alors calculer:
x'*y=0*y=0 et d'autre part x*y'=0*y'=0 d'où l'égalité demandée.

[zygomatique]

des droites sont parallèles
des vecteurs sont colinéaires

des droites et des vecteurs ont même direction



on dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires si :

u et v ont même direction (définition géométrique)

OU

il existe un réel k tel que u = kv ou v = ku (*)

OU

u n'est pas nul et il existe un réel k tel que v = ku (**)


(*) et (**) sont équivalentes ...

mais si u = 0 et v <> 0 alors on ne peut pas trouver de réel k tel que v = ku

(*) inclut tous les cas sans avoir à se préoccuper que u ou v soit nul ou non ...


bien entendu si u = (x, y) il est nécessaire de savoir que ku = (kx, ky)


donc en utilisant la définition (*)

u = (x, y) et v = (x', y')

si (on prend) u = kv <=> (x, y) = (kx', ky') alors xy' - x'y = kxy' - kx'y = 0

si (on prend) v = ku <=> (x', y') = (kx, ky) alors xy' - x'y = kxy' - kx'y = 0


donc si u = (x, y) et v = (x', y') sont colinéaires alors xy' - x'y = 0



et on ne s'emm... pas avec d'éventuelles divisions par 0 ....

[sweetassbaby]

Merci bcp à vous deux pour votre aide!!!