Distance / Espace métrique

[Cacatoess]

Bonjour,
Jai un petit exercice que je n'arrive malheureusement pas à résoudre.
J'ai une distance définie sur R*xR* tq d(x,y)= |1/x - 1/y|
Et on me demande si [-1,1]\{0} est fermé pour cette distance ? Borné?
Et je n'arrive pas du tout à voir comment procéder
(À la question précédente j'ai trouvé B(1,1) = ]1/2,+oo[ si cela peut aider en quoi que ce soit)

Merci à tous et très bonne soirée !

[Ben314]

Salut,
Pour montrer qu'un ensemble est fermé (ou pas), il y a des tas de techniques : calculer son adhérence, utiliser les suites ou... regarder si son complémentaire est ouvert.

Là, comme indic., je te dirais bien de regarder dans le cas général ce qu'est (pour cette distance) la boule ouverte de centre a (réel non nul) et de rayon r (réel strictement positif) puis de regarder si, par hasard, le complémentaire de ton ensemble, ça serait pas une réunion de boules ouvertes (donc un ouvert...)

Concernant le fait qu'il soit borné où pas, là, il y a pas grand chose à "réfléchir" : tu prend un "point de base" quelconque x0 dans ton ensemble (tu as montré en cours, grâce à l'inégalité triangulaire, que le point choisi ne change rien au résultat) ici, on peut prendre par exemple x0=1, puis tu regarde quels sont les valeurs que peut prendre d(1,x) lorsque x "balaye" l'ensemble en question. Ça reste borné ou pas ?