Du simple calcul ??

[Aurelien]

Bonjour a tous,

Je bloque sur la dernière question de mon DM.
Je dois déduire de mes calcul précédant que pour tout entier naturel n, un=(5^n-2^n)/(5^n+2^(n-1))

j'ai pour info que vn=(un -1)/(un +2)
vn est une suite géométrique de raison 2/5 est de premier terme -1/2

je sais aussi que un+1=(3un +2)/(un +4)

j'ai commencé le calcul mais il ne me mène a rien ....j'ai fait sa:
vn=(un -1)/(un +2)
vn(un +2)=un -1
vn(un +2)+1=un
vn*un+2vn+1-un=0
un=(-2vn-1)/(vn-1)
un=(-2((-1/2)*(2/5)^n) -1)/((-1/2)*(2/5)^n -1)
Mais apres je ne sais pas quoi faire .... help me please

[Ben314]

Salut,
C'est effectivement la bonne démarche :
1) Partir de la formule donnant Vn en fonction de Un pour en déduire une formule donnant Un en fonction de Vn.
2) Utiliser le fait qu'on connait Vn en fonction de n pour en déduire, grâce à la formule trouvée au 1) Un en fonction de n.

Aprés, effectivement, au final, on obtient un "gros truc" et il faut éventuellement un peu de dextérité calculatoire pour terminer.
Si je fait confiance à tes calculs, on obtient donc ça :

Et là, pour simplifier l'expression, multiplie le dénominateur et le numérateur par et utilise les règles connues concernant les puissances, par exemple

[lulu math discovering]

Mais tu es partout ben !!

[Aurelien]

Merci beaucoup de votre réponse mais je n'arrive pas a retrouver le bon résultat je me perd dans les calculs.
je ne sais pas si je dois développer avec (-2*5^n) ou (-10^n) ?

[Ben314]

D'où provient le -10^n dont tu parle ?

[Aurelien]

de -2*5^n=-10^n
mais vu la question j'ai ma réponse

[Ben314]

Donc effectivement, le problème, il est pas au niveau de la méthode, mais au niveau de la "dextérité calculatoire"...
- Combien ça vaut -2x5^2 ?
- et -10^2 ?
- donc ?