Transformer f(x) en (f(x))^i

[anthony_unac]

Bonjour,

Existe t il une transformation connue pour transformer en avec désignant l'unité imaginaire ?

[Lostounet]

Salut
Déjà quel sens tu donnes à 5^i ?
Ou i^i (bon ça c'est un réel xD)

On peut pê choisir une détermination du Logarithme complexe et travailler avec exp(iLog(z))

[chan79]

salut
Peut-être


si est un réel strictement positif:


sans garantie ...

[Lostounet]

@Chan
Et que vaudrait (-2)^i alors? :p

[anthony_unac]

Merci Messieurs,
Au regard de vos différentes réponses, j'entrevois les difficultés qu'une telle transformation génère
Comme Chan79, j'ai souvent lu que pour
Lorsque , je ne sais pas ce qu'il advient ?
On pourrait par exemple essayer de jongler avec les valeurs absolues, mais cela a t il un sens ?
exemple :

[chan79]

une tentative
d'abord


puis


mais pas sûr du tout !!! et est-ce plus simple à la fin qu'au début ?

[anthony_unac]

C'est la que je reste perplexe car il me semblait que : est fausse quand et sont des nombres complexes.
Par exemple,

[Lostounet]

une tentative
d'abord


puis


mais pas sûr du tout !!! et est-ce plus simple à la fin qu'au début ?

Pourquoi iV2 et pas -iV2 ?



Je pense qu'on doit définir les objets dont on parle. Notamment donner un sens à un exposant complexe.

Par exemple on peut considérer la détermination principale du logarithme qui permet de donner un sens à une puissance complexe. Avec

Log(z)= ln(|z|) + i Arg(z)

Avec Arg l'argument principal de z.

Cela permet de définir pour tout z non réel négatif ce dont on veut parler. Du style z^(1/2)
= exp(1/2 Log(z))
=exp(1/2 (ln|z| + i Arg(z))

[chan79]

C'est la que je reste perplexe car il me semblait que : est fausse quand et sont des nombres complexes.
Par exemple,

oui, ce que j'ai mis est plus que litigieux

[chan79]

Pourquoi iV2 et pas -iV2 ?

pour faire apparaître -2 en élevant au carré
bon, mais il faudrait revenir à la définition de la puissance dans

[anthony_unac]

Par exemple on peut considérer la détermination principale du logarithme qui permet de donner un sens à une puissance complexe. Avec

Log(z)= ln(|z|) + i Arg(z)

Avec Arg l'argument principal de z.

Donc
Il s'en suit alors que

[anthony_unac]

Donc comment s'en sortir avec le calcul de
Il me semblait que votre relation nous donnait le logarithme d'un nombre complexe donc de par exemple

[Lostounet]

Regarde la page wikipedia sur le logarithme complexe. C'est pas aussi simple que le log naturel malheureusement

[anthony_unac]

J'en reviens justement et il semblerait que mon calcul soit exact sauf que l'écriture elle ne l'est pas. Ainsi quand je parle du logarithme d'un nombre complexe, je dois écrire et non .
Ainsi est calculable.
On pourra par exemple utiliser cette relation qui semble valable pour tout couple :

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ce que vous faites avec vos : visiblement vous vous demandez uniquement si on a "le droit" d'écrire un certain truc sans rien préciser concernant les propriétés que vous attendez du fameux "truc" en question.
Dans ce cas, la réponse est évidement "oui" : j'ai parfaitement le droit de dire par exemple que, pour a et b complexes quelconques, je définie a^b comme étant égal à 1.
Et si vous me dite qu'il est sous entendu qu'il faut que "ça colle" avec la définition classique sur R, j'ai aucun mal à changer mon fusil d'épaule : a^b ça vaut la a^b "usuel" lorsque a et b sont réels et sinon, ça vaut... 1.

Enfin bref, tant que vous ne précisez pas ce que vous espérez obtenir avec votre nouvelle notation a^b, je pense que ça ne peut être que totalement stérile comme discutions, non ?
Réciproquement, une fois qu'on a précisé quels sont les propriétés attendue, c'est une question très intéressante de savoir s'il existe ou non des fonctions puissances sur C ayant les désidératas demandés (ainsi que de voir s'il y a une seule solution ou plusieurs)

P.S. Et concernant LES fonctions logarithmes sur C, je rappelle à tout hasard qu'il n'y en a aucune (continue) définie sur C* tout entier et que par contre, si on choisi un domaine simplement connexe A contenu dans C*, là, il y a plusieurs fonctions logarithme définies sur A.

[Ben314]

...cette relation qui semble valable pour tout couple :

Ca me semble "pas trop" valable comme relation dans le cas où x<0 et y=0 (=> division by zéro error...) , non ?

[anthony_unac]

Ah oui exact, dans ce cas on restera sur la proposition type :

[Ben314]

Y'a quand même vraiment un truc que je comprend pas dans votre façon de raisonner (en général et... là en particulier...) :
Au vu du post. précédent, tu constate que le log. d'un nombre complexe, ben t'as pas de définition valable de ce que ça signifie, mais qu'à celà ne tienne, tu commence allègrement une série d'égalités par du "ln(-2)=..." puis tu continue en utilisant tout aussi allègrement la relation "ln(ab)=ln(a)+ln(b)" ainsi que "ln(exp(a))=a" en ne sachant bien évidement pas si ces relations sont valable ou pas avec "ton" log. complexe vu que... tu n'as toujours pas donné de définition de ce qu'était le fameux logarithme en question.
Très honnêtement, ça te semble rationnel comme démarche ?

Après, effectivement, si ça t'intéresse, on peut définir DES fonctions logarithme complexe (et donc DES fonctions puissances)
- Soit en considérant DES primitive de la fonction z->1/z (mais c'est évidement à une constante prés) et en plus, ça ne permet de définir des fonctions log. que localement sur C* et il s'avère qu'on ne peut pas les recoller sur C* tout entier.
- Soit en tentant de fabriquer une "pseudo-inverse" de la fonction exponentielle complexe qui elle est parfaitement définie. Sauf que là, LE problème, c'est qu'étant périodiqu, la fonction exponentielle n'est absolument pas du tout injective (donc pas bijective), ce qui fait en particulier qu'il n'y a aucun espoir que la propriété que tu utilise, à savoir ln(exp(a))=a soit vérifiée de façon générale par une fonction logarithme (en fait, c'est très exactement la même chose qu'avec les "pseudo-inverse" ArcSin et ArcCos où on n'a pas ArcSin(sin(x))=x pour tout réel x)

Enfin bref, ce qu'il faut au minimum en retenir, c'est qu'il n'y a pas UNE fonction logarithme sur C*, mais DES fonctions logarithme définies sur les ouverts simplement connexes contenu dans C* et que même une fois le domaine défini, il y a plusieurs fonctions logarithme définies sur le domaine en question.
Donc toute "prose" parlant de logarithme complexe doit obligatoirement commencer par préciser de "quel" logarithme il s'agit (ensemble de définition et au minimum, la valeur en un point pour fixer la constante)

P.S. On montre aussi très facilement qu'il est exclu qu'une fonction logarithme complexe vérifie en toute généralité la formule ln(ab)=ln(a)+ln(b)

[anthony_unac]

Bonjour,
Le calcul de (-2)^i est pourtant juste donc la démarche est juste.

[Doraki]

Bonjour,
Le calcul de (-2)^i est pourtant juste donc la démarche est juste.

Non parceque (-2)^i n'a pas de sens.
Et puis en général un résultat juste ne veut pas dire que la démarche est juste.