Hello,
Soit l'espace H(C) des fonctions analytiques sur C muni de la norme:
|f| = sup|f(z)| pour z dans [-1;1]
On me demande de montrer que c'est une norme:
1) Séparation: je l'ai fait en utilisant le prolongement analytique
2) Homogénéité et ineg. triangulaire: sans problème majeur..
Ensuite on me demande si H(C) est complet pour cette norme. J'ai donc pris une suite de Cauchy: pour tout epsilon >0, il existe N tel que pour p,q>N
Puis je suis repassé à C qui est complet et j'arrive à obtenir une suite de complexes convergente. J'ai essayé d'appliquer Liouville mais je sais pas...
Pour tout z de [-1;1], j'ai f_p(z) qui converge vers une certaine f(z) mais il me faut l'holomorphie de ce f(z) ou au moins sa continuité..
D'ailleurs le principe du module maximum dit-il dans ce cas que |f(1)| ou |f(-1)| c'est la plus grande valeur prise par |f| ...?
merci de m'aider