Complétude

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Lostounet
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Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 20:01

Hello,

Soit l'espace H(C) des fonctions analytiques sur C muni de la norme:

|f| = sup|f(z)| pour z dans [-1;1]

On me demande de montrer que c'est une norme:
1) Séparation: je l'ai fait en utilisant le prolongement analytique
2) Homogénéité et ineg. triangulaire: sans problème majeur..

Ensuite on me demande si H(C) est complet pour cette norme. J'ai donc pris une suite de Cauchy: pour tout epsilon >0, il existe N tel que pour p,q>N
Puis je suis repassé à C qui est complet et j'arrive à obtenir une suite de complexes convergente. J'ai essayé d'appliquer Liouville mais je sais pas...

Pour tout z de [-1;1], j'ai f_p(z) qui converge vers une certaine f(z) mais il me faut l'holomorphie de ce f(z) ou au moins sa continuité..
D'ailleurs le principe du module maximum dit-il dans ce cas que |f(1)| ou |f(-1)| c'est la plus grande valeur prise par |f| ...?
merci de m'aider
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Ben314
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Re: Complétude

par Ben314 » 03 Oct 2016, 21:13

Salut,
Déjà, est-ce que tu peut un peu détailler ta façon de montrer la "séparation" de cette norme (je vois pas trop le rapport avec la notion de prolongement analytique).

Ensuite, peut tu m'énoncer précisément le "principe du module maximum" pour voir s'il s'applique (ou pas) au cas de [-1,1] et s'il dit bien que le max est en -1 ou 1. (au pire, si tu as la flemme de rechercher l'énoncé exact du théorème, peut tu me dire quelle est la frontière dans C de l'intervalle réel [-1,1] ?)

Enfin, vu que tu es clairement parti sur la mauvaise voie, je vais un peu t'aider : l'espace en question n'est (assez clairement) pas complet.
Et comme indication, je te dirais bien que, par exemple, les polynômes sont des fonction holomorphes. Et pour cette norme là, ils peuvent "tendre" vers quoi (dans un espace plus gros que H bien sûr...)
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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 21:29

Hello Ben,

Pour la séparation:
Soit f analytique telle que sup |f(z)| = 0 pris sur [-1 ; 1]. Donc pour tout z dans ]-1;1[ , f(z) = 0
Or la fonction nulle est analytique et ]-1;1[ est un domaine (ouvert et connexe) et deux fonctions analytiques coïncidant sur un domaine de C coïncident partout sur C donc f = 0

2) En ce qui concerne ton gras "dans C" je me rend compte d'une bêtise... car les points 1 et -1 ne sont pas les frontières de ce domaine dan C... enfin logiquement ça devrait pas. Dans R ce serait 1 et -1. Dans C je crois que c'est ... tout le segment...

3) Bon dommage que je sois parti sur la mauvaise piste.
Ils peuvent "tendre" vers une fonction juste continue non? ... Pour la norme de convergence uniforme?
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Re: Complétude

par Doraki » 03 Oct 2016, 21:36

alors comme ça, ]-1; 1[ est un domaine ouvert ?

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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 21:43

Au moins il est connexe... :p

Bon ok. Et que faire alors?
J'arrive même pas à centrer des boules en z0 de [-1;1] pour utiliser la continuité et propager f(z) = 0 .

Y'avait un truc qui disait que si f prend des valeurs réelles sur un connexe alors elle est constante. Ici f(z) = 0 réelle sur -1;1 non?...
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Re: Complétude

par Doraki » 03 Oct 2016, 21:48

Il ressemble à quoi le développement en série entière de f en 0 ?

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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 21:50

f(z) = f(0) + f'(0)z + f''(0)z^2/2 + ...
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Re: Complétude

par Doraki » 03 Oct 2016, 21:52

Certes mais encore ? Peux-tu nous en dire un peu plus sur f(0) ?

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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 21:58

Rien, à part spéculer que f(0) = 0 avec un "principe du minimum." Mais il est même pas ouvert le domaine, du coup c'est faux.
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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 22:31

Sous l'hypothèse que l'on soit dans le cas sup|f(z)| = 0 alors effectivement f(0) = 0.

J'ai trouvé un corollaire des zéros isolés qui pourrait aider... Et lui est valable pour des compacts.
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Re: Complétude

par Lostounet » 03 Oct 2016, 23:15

Ben314 a écrit:Et comme indication, je te dirais bien que, par exemple, les polynômes sont des fonction holomorphes. Et pour cette norme là, ils peuvent "tendre" vers quoi (dans un espace plus gros que H bien sûr...)


Soit g continue sur [-1;1] non holomorphe sur C.
Alors il existe (Pn) une suite de polynômes qui converge uniformément vers g sur [-1;1], donc la suite (Pn) est une suite de Cauchy.
Mais la limite n'est pas holomorphe.

C'est ça? Y'a un pb de restrictions?
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Re: Complétude

par Ben314 » 04 Oct 2016, 13:02

Ce que voulais te faire écrire doraki, c'est que, si une fonction holomorphe f est nulle sur [-1,1] alors sa dérivée est nulle sur [-1,1] vu qu'on sait que cette dérivée existe et, pour la calculer on peut se restreindre au cas où z->zo en restant dans [-1,1]. On en déduit en cascade que toutes les dérivées sont nulles sur [-1,1] donc que le d.v. en série en 0 est nul donc que la fonction est nulle.
Mais en fait, ce raisonnement et déjà celui fait pour démontrer le "principe des zéro isolés" qu'on peut utiliser directement pour déduire que f est identiquement nulle.

Après, effectivement, le fait que H est non complet se voit facilement lorsque l'on sait que toute fonction continue sur [-1,1] est limite (pour la norme donnée) de polynômes.
Par contre, il faut faire gaffe concernant la rédaction : tu écrit "...une suite de polynômes qui converge vers g sur [-1;1]...." et je pense qu'il faudrait préciser non seulement quelle norme tu prend, mais aussi quel espace (tu n'est évidement pas dans H...)
Enfin, bref, il y a effectivement un "problème de restriction" qui demande à être rédigé correctement.
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