Suites avec une récurrence linéaire infinie à l'envers

[Doraki]

Bonjour,
ça fait un bout de temps que cette question me taraude et je n'ai pas la moindre idée de la réponse :

On considère les suites réelles bornées (an) qui satisfont la relation de récurrence


Est-ce qu'elles sont toutes constantes ?


Soit je m'y prends très mal soit c'est vachement dur. En tout cas je sais pas du tout si c'est vrai ou pas. Ca a l'air vrai mais...
Donc je prendrais bien un coup de main.

[anthony_unac]

Bonsoir,
Vous donnez une relation de récurrence (très bien) indiquant qu'un terme donné de la suite (nommons le ) est égal à une somme infinie constituée (cerise sur le gâteau) des termes suivant de la suite.
En gros, pour connaître le terme , il faut connaître tous les suivants (et jusqu'à l'infini).
Cela dépasse mon entendement car au final on travaille avec les termes d'une suite dont on n'en connait aucun (terme)

[Ben314]

Salut,
Sauf que doraki n'a jamais dit (et pour cause...) qu'une telle relation définissait une suite : la relation en question n'est pas du tout sensé permettre de calculer les termes les uns après les autre.

La question est de savoir s'il existe des suites bornées non constantes qui vérifient une telle relation.

Le truc trivial, c'est que l'ensemble des suites bornées vérifiant la relation est un espace vectoriel, mais le problème, c'est quel est sa dimension ?

[ffback]

Salut

Soit C l ensemble des suites verifiant la propriete et bornees par 1.
Si (un) est une suite quelconque, je definis le 1er ecart de (un) comme etant u1-u0. Soit (un) un element de C maximisant le premier ecart. (Un simple argument de compacite faible/extraction diagonale). Notons M=u1-u0 ce max.
(un) est une combinaison convexe de certain de ces shifts (u (n+k)), et ces shifts sont aussi dans C, donc leur premier ecart est inferieur á M, et donc en fait egal á M. En particulier, (u (n+1)) maximse aussi le premier ecart ie u2-u1=M. En reccurant, on deduit u (k+1)-uk=M pour tout k, et comme la suite est bornee, M=0. On conclut aisement

[ffback]

Note additionelle: j ai en fait adapté de maniere (presque) elementaire un argument massue que j ai appris il y a peu, qui est le suivant: l ensemble C que j ai defini est convexe et compact pour la topologie faible, donc enveloppe convexe fermee de ces points extremaux(Krein-Milman). Mais un element de C est par definition combinaison convexe de ccetain de ces shifts, donc si il est extremal, il est egal a ces shifts, donc constant!

[Doraki]

Ah merci, ça m'a l'air de marcher, je me doutais bien qu'il devait y avoir une preuve dans ce genre mais impossible de la cerner.
J'avais fini par trouver un truc mais c'était bien plus compliqué lol.