Série convergente de parties entière.

[allmess]

Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver de piste pour commencer à résoudre cet exercice:

On pose où désigne la partie entière de .
On a montré précédemment que .
J'aimerais maintenant démontrer que converge vers .
J'imagine qu'un encadrement adéquat permettrait d'utiliser le théorème des gendarmes, mais je n'arrives pas à progresser sur cette voie...

Merci d'avance pour votre aide!

[zygomatique]

salut

il suffit donc de montrer que a_n est la n-ième décimale de x .... ou un truc du genre ... (qui va dépendre de la partie entière de x)

en écrivant x = n + d avec n = E(x) et 0 =< d < 1 et même ça devrait le faire ...

[Ben314]

Salut,
Si tu écrit ce que représente la somme partielle alors miraculeusement (sic...) tout les termes se simplifient sauf un et le terme qu'il te reste il est extrêmement facile de montrer qu'il tend vers .

@zygomatique : je pense pas que ce soit vraiment la philosophie du bidule d'utiliser l'écriture décimale de x dans un exo. pareil vu qu'assez clairement, le but de l'exercice, ben c'est justement de démontrer que tout réel admet (au moins) une écriture décimale...

[allmess]

Merci à vous deux pour vos réponses!
En écrivant la somme partiel je remarque une série ou effectivement tous les termes s'annulent sauf un... mais je n'arrive pas vraiment à faire opérer la magie, puisque pour moi . Si je ne m'abuse, et donc ... Qu'ai je loupé ?

[Ben314]

Effectivement ça déconne, mais ç'est plutôt l'énoncé qui déconne :
- A mon avis, le E(x) il devrait disparaitre du fait que, dés le départ, on considère un x de l'intervalle [0,1[ (donc de partie entière nulle)
- Ensuite si on part par exemple de x=0.95483.... et qu'on applique directement la définition donnée pour les , ça donne qui sont effectivement les décimale de x, sauf que, si on veut "reconstituer" x, ce qu'il faut faire, c'est , c'est à dire et pas (ou alors changer la définition des ...)

Enfin bref : ton calcul est juste, mais y'a un soucis dans l'énoncé. Il vient d'où cet énoncé ?

[allmess]

Merci Ben pour ton aide!

L'énoncé vient d'une feuille d'exercice de L3... Le chargé de TD a surement dû faire des erreurs...

Je ne comprend pas pourquoi est ce que on a ... Je comprend que cela ferais disparaitre le et qu'alors (en modifiant comme suggéré) la série convergerais vers , mais pourquoi particulièrement?

Merci d'avance

[Doraki]

Ton énoncé ne dit pas où est pris x ?

si on fait la somme pour n dans Z, on peut prendre x >=0.

[allmess]

L'énoncé dit x dans R.... et rien sur n.

[Doraki]

Je vois pas comment ils peuvent espérer qu'une somme de trucs positifs puisse converger vers un x négatif.

[allmess]

Certes, merci Doraki!
Mettons nous dans le cas où , et . Comment s'y prendre pour montrer que la serie converge vers ?

Je m'explique:
J'aurais été tenté de diviser la série en deux sommes partiels, que l'on somme ensuite pour passer à la limite, avec la première celle vue plus haut, et la seconde, . Mais pour moi, cette seconde somme partiel vaut , et donc ne converge pas. Aussi cette technique ne m'as pas l'aire prescrite, sauf évidemment erreur de ma part.
D'où ma question: comment faire?

PS: Je ne suis pas sûr d'avoir le droit de traiter ce cas là comme je l'ai fait à vrai dire...

[Doraki]

C'est pas plutôt 10^n E(10^-n x) ?

[allmess]

...et si ^^
La seconde somme partiel vaut , et donc converge vers ... Mais du coup si la série converge vers la somme des deux limites elle ne converge pas vers x...

[Ben314]

A mon avis, il ne faut pas perdre de vu le coté "intuitif" de l'exercice où l'on cherche à montrer que, par exemple, si x=6745,348925... alors donc avec la définition donnée dans l'exo. de et en acceptant les négatif, on a ; ; ; ; ; ; etc...
On constate quand même que la façon de numéroter les décimales qui a été choisie dans l'exo. n'est pas celle qui viendrait naturellement à l'esprit, mais bon, ça change rien au résultat.
Par contre ce qu'on constate qui est bien plus important, c'est que quand on écrit ça , ben on met des points de suspension à droite (-> il y a une série convergente "cachée" là), mais on en met pas à gauche.
Et c'est évidement le cas pour n'importe quel réel x (positif).
Est-ce que tu voit ce que ça signifie concernant ton écriture théorique avec des et concernant la "série" correspondant aux entiers négatifs ?
(et c'est cette constatation là qui fait que dans ce genre d'exercice, très souvent, on se limite au cas où x est dans [0,1[)

P.S. Si tu ne voit pas où je veut en venir, je peut être plus explicite : sur l'exemple que j'ai pris ci dessus, combien valent , , , ... ? Et avec un réel quelconque ?

[allmess]

Merci à tous pour votre aide
Finalement je pense qu'il est plus sage de renoncer à vouloir s'accrocher à garder k dans Z, alors qu'une petite modification de l'énoncé rend l'exercice beaucoup plus facile. En effet si on pose et , on a bien la série qui converge vers x, et "l'esprit" des est gardé.