Exercice de dérivation

[titi173]

Bonjour,j'aimerai de l'aide pour un exercice de mathématique que je n'ai pas vraiment compris sur certains points : '' Une entreprise artisanale fabrique et vend entre 0 et 120 crèmes pour le visage par semaine. Elle évalue le coût total de la production, en euros, de q crèmes à : Ct(q)= 0.001q^3 + 5q + 250

La courbe représentative de la fonction Ct est donnée dans le repère ci-contre.
On désigne par Cm(q) le coût moyen de production (en euros) de q crèmes.
On rappelle que le coût moyen de producyion de q crèmes est donné par : Cm(q)= Ct(q)/q
(pour toute valeur de q non nulle)
1a) A l'aide du graphique précédent et avec la précision permise,lire Ct(20)
En déduire alors Cm(20)
b) On considère que le point A d'abscisse 20 appartenant à la courbe de la fonction Ct.
Calculer l'ordonnée du point A puis en déduire le coefficient directeur de la droit (OA).
Comparer le résultat obtenu à celui obtenu à celui de la question précédente.
c) En déduire alors,par lecture graphique,le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de la production soit minimal. Justifier succinctement votre réponse.

2) Donner l'expression de Cm(q) en fonction de q (pour q ∈ ]0;120])
b) Donner Cm'(q) (où Cm' est la fonction dérivée de Cm) et montrer que :
Cm'(q)= ((q-50)x(0.002q² + 0.1q + 5))/q²

c) Étudier les variations de la fonction Cm sur l'intervalle ]0;120].
d) En deduire le nombre de crèmes à produire (et à vendre) pour que le coût moyen de production de l'entreprise soit minimal. Calculer alors le coût total de production. ''

pour la question 1a,avec le graphique,j'ai trouvé environ 350, j'ai donc trouvé Cm(q) en faisant (350/20) ce qui m'a donné 17.5.
Pour la question b, j'ai calculé Ct(20) qui m'a donné 358, et j'ai donc calculé le coefficient directeur avec la formule (yb-ya)/(xb-xa) en prenant des points de la courbe,j'ai donc pris 70 et 1250 et j'ai trouvé 17 pour le coefficient directeur. Je ne vois donc pas comment comparer ces deux résultats ensemble,à part qu'ils sont à peu près égaux. La question c me pose aussi problème car je ne sais pas ou regarder sur le graphique pour donner la réponse. Merci de votre aide.

2016-10-02_15_opt.jpg (44.32 Kio) Vu 722 fois

[triumph59]

Bonjour,

Pour la question 1)b)

On te demande de calculer l'ordonnée du point A puis d'en déduire le coefficient directeur de la droite OA. Quand la question contient le mot déduire , il faut utiliser les résultats déjà obtenus (c'est à dire l'abscisse et l'ordonnée du point A et du point 0)

[titi173]

Bonjour, on fait donc (yA-yO)/(xA-xO)= 358/20 ?

[triumph59]

Oui, le point 0 est un point facile

Toujours dans la même question, on te demande de comparer ce résultat avec le résultat précédent.
Ta remarque est la bonne : ces 2 résultats sont sensiblement identiques (ce qui est rassurant) sachant que la valeur obtenue par calcul est plus précise que celle lue graphiquement

[titi173]

Merci pour votre aide à cette question mais comment faire pour la question c je sais que le coût moyen pour q crèmes produites est le coefficient directeur de la droite (OM) soit 17.9 (358/20=17.9) mais comment voir sur le graphique le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de la production soit minimal?

[triumph59]

Je suis d'accord avec toi pour dire que le coût moyen pour q crèmes est le coefficient directeur de la droite OM, où M est le point d'abscisse q appartenant à la courbe.

La valeur 17.9 correspond au coefficient directeur de la droite au niveau du point A, c'est à dire pour q=20 crèmes.

Essaie de tracer les droites pour quelques points, j'ai ajouté les points B, C, D et E sur ta figure ... tu peux tracer OB, OC, OD et OE ... dis-moi ce que tu penses du coefficient directeur de ces droites ?

[titi173]

Il augmente?

[triumph59]

Peux-tu préciser ta réponse, par rapport au coefficient en A :
En B, il ...
En C, il ...
En E, il ...
En D, il ...

J'essaie de te faire trouver la solution tout seul, plutôt que de te la donner directement, mais tu es sur la bonne voie

[titi173]

Je ne comprend pas quelle réponse vous attendez..

[triumph59]

Le coefficient directeur d'une droite, correspond à la pente de cette droite

Le coefficient directeur de la droite qui passe par le point E est identique à celui en A
Le coefficient directeur de la droite qui passe par le point D est plus petit que celui en A
Le coefficient directeur de la droite qui passe par le point B ou C est plus petit que celui en D

Es-tu d'accord avec ça ?

Si oui arriverais-tu à tracer une droite qui passe par l'un des points de la courbe et qui ait le plus petit coefficient directeur possible ?

En déduire alors, par lecture graphique, le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de la production soit minimal. Justifier succinctement votre réponse = tracer la droite qui a le plus petit coefficient directeur et lire graphiquement l'abscisse du point d'intersection entre la droite et la courbe

[triumph59]

Tu vas trouver cette droite qui est la droite tangente à la courbe ... je te laisse déterminer l'abscisse du point d'intersection entre la droite et la courbe

La question 2) va te permettre de vérifier ce résultat par le calcul

[titi173]

L'abscisse serait donc à 50 crèmes à produire et à vendre?

[triumph59]

Oui environ par lecture graphique , c'est le point où le coefficient directeur est le plus petit, et comme le coefficient directeur correspond au coût moyen de production tu as la réponse à la question 1)c)

La question 2) va te permettre de vérifier ce résultat plus précisement

[titi173]

donc pour la question 1c,j'écris donc ''le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de production soit minimal est de environ 50,nous l'avons vu car nous savons que le coefficient directeur correspond au coût moyen de production et le point d'abscisse 50 est le point où le coefficient directeur est le plus petit.''?

[triumph59]

Oui c'est bien expliqué comme ça. Ce qui est important c'est de joindre le dessin de la courbe avec la droite tracée

As-tu compris le raisonnement et la façon de tracer cette droite ?

[titi173]

Mais comment vous faites pour tracer cette droite,comment savez vous que c'est à ce point la que le coefficient directeur est le plus petit?

[triumph59]

Avec ta règle tu dois tracer une droite qui passe à la fois par le point 0 et un point de la courbe et cette droite doit avoir le coefficient le plus petit possible.

Je place donc ma règle en O et ensuite je l'incline de plus en plus et je m'arrête quand elle ne coupe quasiment plus la courbe.

Dis moi si ce n'est pas clair, je t'envoie une photo

[titi173]

Oui merci beaucoup, pour la question 2c, il faut donc faire le delta? en sachant que q² est toujours positif et qu'il ne peut pas être égal à 0.

[triumph59]

Maintenant il faut remplir le tableau de signe pour Cm'(q)

(q-50) va être <0 pour q<50, =0 pour q=50 et >0 pour q>50
q² >0 car q ∈ ]0;120]
pour (0.002q² + 0.1q + 5) tu peux étudier le signe en calculant la dérivée de cette expression, tu peux aussi indiquer que q²>0 et q>0 donc 0.002q²>0 et 0.1q>0 donc 0.002q² + 0.1q>0 et donc 0.002q² + 0.1q +5 >5 et donc 0.002q² + 0.1q +5>0
tu n'as plus qu'à dresser le tableau de signe de Cm'(q)

Tu dois trouver une fonction décroissante (avant 50) puis croissante (après 50) et qui passe par un minimum en q=50

Ce qui correspond au résultat trouvé graphiquement à la question 1)

[triumph59]

Voici la photo qui explique comment tracer la droite avec le plus petit coefficient directeur