Division euclidienne (spé maths)

[lesmathsenfolie]

Bonsoir,

Je dois trouver le reste de la division euclidienne de 200^539 par 17.

Suivant la méthode donnée par le professeur, j'ai fait :

* 1ère étape : Division euclidienne de 200 par 17.

200=11x17+13
200 congru à 13 modulo 17

* 2ème étape : Division euclidienne de 13^n (n entier naturel positif) par 17 pour trouver un reste de 1


13^2 congru à 16 modulo 17
13^3 congru à 4 modulo 17
13^4 congru à 1 modulo 17

* 3ème étape : Division euclidienne de l'exposant, 539, par 4 (exposant trouvé lors de l'étape précédente)

539 = 4x134+3

On aboutit donc à 200^539 congru à 13^539
congru à (13^4)^134x13^3
congru à 1+ ?????????????????

Ma question est la suivante : Si je laisse 13^3 en le calculant, j'obtient 1x 2197, ce qui est bien naturellement impossible. Je serais tentée d'utiliser le reste trouvé à l'étape 2 (13^3 congru à 4 modulo 17) pour que mon reste soit cohérent mais je ne sais pas si j'ai le droit et encore moins si c'est la bonne méthode...

Qu'en pensez-vous ?
lesmathsenfolie

[annick]

Bonjour,
comment se fait-il que tu aies 539 dans ton énoncé de départ et qu'ensuite tu fasses tes calculs avec 559 ?

[zygomatique]

et aussi peut-être revoir les règles de calcul sur les exposants ...

[lesmathsenfolie]

Bonjour,
comment se fait-il que tu aies 539 dans ton énoncé de départ et qu'ensuite tu fasses tes calculs avec 559 ?

Oui effectivement, erreur de saisie de ma part, c'était bien 539 mais les calculs sont exacts!

[lesmathsenfolie]

et aussi peut-être revoir les règles de calcul sur les exposants ...

Comment ça?

[anthony_unac]

Bonsoir,
Souvenez vous que

[lesmathsenfolie]

Oui, je m'en souviens,j'obtiens donc 13^539=13^(4x134+3)=(13^4)^ 134 x 13^3

Sachant que 13^4 est congru à 1, j'obtiens donc 1^134 x 13^3 = 1x13^3.

Je cherche à me "débarasser" du 13^3, sachant qu'il est congru à 4 modulo 17 et ma question est de savoir si je peux écrire que c'est congru à 4 modulo 17 pour le reste final ?

[Pseuda]

Bonjour,

Oui, bien sûr. C'est le but. Et 4 est bien le reste de la division euclidienne de ... par ... , car 4 est compris entre quoi et quoi ?

[lesmathsenfolie]

il est compris entre 0 et 17... merci beaucoup, mon problème est résolu !!

[anthony_unac]

Félicitations
En relisant votre exercice, je me rends compte que vous étiez très guidé (c'était carré).
Etes vous capable à présent de déterminer sans guide le reste de divisé par