Conjecture sur un lieu

[chan79]

Bonjour à tous
ABC est un triangle quelconque.
A chaque point M de [AB], on fait correspondre le point N de [AC] tel que ANOM et BOC ont la même aire, O étant le point d'intersection de (BN) et (CM).

On dirait que le lieu de O quand M varie sur [AB] est un arc d'ellipse, que (AB) est tangente en B à cette ellipse et que (AC) est aussi tangente en C. C'est juste une conjecture. Je ne l'ai pas démontrée ...

[Razes]

On dirait que le lieu de O quand M varie sur [AB] est un arc d'ellipse, que (AB) est tangente en B à cette ellipse et que (AC) est aussi tangente en C. C'est juste une conjecture. Je ne l'ai pas démontrée ...

Est ce que c'est ça la question?

[chan79]

On dirait que le lieu de O quand M varie sur [AB] est un arc d'ellipse, que (AB) est tangente en B à cette ellipse et que (AC) est aussi tangente en C. C'est juste une conjecture. Je ne l'ai pas démontrée ...

Est ce que c'est ça la question?

oui, quel est le lieu de O quand M varie sur [AB] ?

[Ben314]

Salut,
J'ai fait aucun calculs, mais l'énoncé étant invariant par transformation affine car :
- elles préservent l'alignement.
- elles multiplient les surfaces par une constante (la valeur absolue du déterminant de l'application linéaire associée)
- elles envoient les ellipses sur de ellipses (et évidement préservent la notion de tangente)

Il suffit de traiter le cas A:(0,0), B:(0,1) et C:(1,0) dans un r.o.n. pour avoir le cas général.

[Ben314]

Effectivement : si on part de O:(x,y) on trouve que M(x/(1-y) ; 0) , que N:(0 ; y/(1-x) , que l'aire de (ANOM) est xy(2-x-y)/[2(1-x)(1-y)] et que celle de (BOC) est (1-x-y)/2.
L'égalité des aires donne alors comme équation x²+xy+y²-2x-2y+1=0 qui est bien l'équation d'une ellipse tangente à (AB) et à (AC).

[chan79]

Effectivement : si on part de O:(x,y) on trouve que M(x/(1-y) ; 0) , que N:(0 ; y/(1-x) , que l'aire de (ANOM) est xy(2-x-y)/[2(1-x)(1-y)] et que celle de (BOC) est (1-x-y)/2.
L'égalité des aires donne alors comme équation x²+xy+y²-2x-2y+1=0 qui est bien l'équation d'une ellipse tangente à (AB) et à (AC).

OK c'est bien ça! Elle est centrée en (2/3;2/3)
Merci

[Ben314]

Quelles particularité doit avoir le triangle de départ pour que l'ellipse en question soit en fait un cercle ?

[chan79]

Quelles particularité doit avoir le triangle de départ pour que l'ellipse en question soit en fait un cercle ?

Si le triangle de départ est équilatéral de côté , on obtient un cercle de rayon