Division euclidienne de -a par b (maths spé)

[lesmathsenfolie]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant :

a et b sont deux entiers naturels non nuls. La division euclidienne de a par b s'écrit a=bq+r où q et r sont des entiers naturels tels que 0<r<b.

On cherche le reste de la division euclidienne de -a par b.

Ne sachant pas trop où m'engager, j'ai testé la division euclidienne de 20 par 3 : 20=3x6+2
puis celle de -20 par 3 : -20=3x(-7)+1

Je n'ai pas vraiment réussi à comprendre un "mécanisme" particulier qui lierait les deux expression...
J'ai donc à tout hasard multiplié par -1 l'expression littérale mais c'est forcément faux étant donné que les deux divisions effectuées avant n'ont ni le même reste ni le même quotient...

Je ne sais plus comment faire...

Auriez -vous des pistes?
lesmathsenfolie

[titine]

-a = -bq - r = -bq - b + b - r = (-q - 1)b + (b - r)
Comme 0 < r < b alors 0 < b - r < b

[lesmathsenfolie]

Merci beaucoup, néanmoins il me reste une étape incomprise : on ajoute b puis on le soustrait pour que l'équation soit exacte et c'est cette étape qui nous permet d'aboutir à la fin... Cependant, comment "deviner" qu'il fallait faire ça et pas autre chose ? (désolée si ma question est un peu floue mais j'aimerais vraiment comprendre) Merci beaucoup en tout cas !

[zygomatique]

salut

par définition du reste d'une division euclidienne ....