Calcul différentiel

[Simpi]

Bonjour,
soit l'espace des matrice réelle. un element de cet espace, la matrice unité et . On pose le polynome caracteristique de . On définit ainsi une application de dans .
1) Expliquez pourquoi est de classe

2) Donnez l'expression de la différentielle de

3) On rappelle que les valeurs propres réelles de sont les réelles tels que
. Une valeur propre réelle de est simple ssi
.
Soit une valeur propre réelle simple de . Montrer qu'il existe un voisinage ouvert et une fonction de classe telle que
et que pour toute matrice , soit valeur réelle propre de .

4) Soit un sous ensemble de formé des matrices ayant valeurs
propres réelles deux à deux distinctes. Montrer que est un ouvert de

5) Soient , les valeurs propres de rangées dans l'ordre croissant . On definit ainsi applications de dans .
Montrer que ces applications sont de classe sur .
Réponse:
1) pas de probleme pour cette question

2) Voici comment j'ai decomposé la fonction

en posant et
est linéaire donc pour et je ne suis pas trop sûr, vérifiez avant que je continu.

[Ben314]

Salut,
Pour le moment, c'est tout bon : effectivement, si L est une application linéaire d'un e.v.n E dans un e.v.n.F alors elle est différentiable et sa différentielle en tout point es égale à elle même : pour tout de E, , c'est à dire que, pour tout de E, .

[Simpi]

Ok je continu, donc on aura:





Or l'application est différentiable et si est inversible alors

, dans notre cas est le polynôme caractéristique donc est inversible par consequent

.

[Ben314]

Là, ça commence un peu à déconner.

Déjà sur la rédaction : ce n'est pas F qui est le "polynôme caractéristique de..." vu que F c'est pas un polynôme, mais c'est F( . ;A) qui est une fonction polynôme, c'est à dire que, pour A fixé x ->F(A;x) est un polynôme.
C'est évidement important de différentier les (au pluriel) "fonctions partielles" x ->F(A;x) de la (au singulier) fonction (x,A)->F(x;A).

Ensuite, sans aucune hypothèses particulières (et tu ne parle pas d'hypothèses quelconque), je vois pas pourquoi lambda.I-A serait inversible. Dans la suite, on va se placer sur un sous ensemble UxR de l'ensemble de définition "naturel" de F ( =RxMn(R) ), mais on en est pas encore là, et, même si on en était là, le fait que A soit dans U (avec lambda un réel quelconque) n'implique absolument pas que lambda.I-A est inversible.
C'est même presque le contraire vu que, pour que lambda.I-A soit inversible pour tout lambda réel, ben il faudrait que A n'ait pas de valeur propre réelles alors que justement, U est l'ensemble des matrices ayant toutes leur v.p. réelles (et distinctes).

Tu as pas vu une autre façon d'écrire la différentielle de l'application déterminant qui marche quelque soit la matrice A, inversible ou pas :
d_det(A).H=trace(comatrice(A).H)
où la "comatrice" de A est la transposée de la matrice des cofacteurs.
Aprés, effectivement, lorsque A est inversible, on a A^-1=1/det(A) .comatrice(A) et on retrouve le résultat que tu donne concernant la différentielle de l'application determinant.

[Simpi]

je crois que j'ai confondu l'application pour fixé et l'application de toutes les facons rien ne dit que .
Donc
.

[Ben314]

Oui, là c'est bon.

[Simpi]

3) pour cette question, le calcul de donne

pour
je ne sais pas quel théoreme utilisé ici.

[Ben314]

C'est pourtant une application assez directe du théorème en question...

Tu as F : RxMn(R) -> R et tu cherche à montrer qu'il existe une fonction Phi : V[contenu dans Mn(R)] -> R telle que "Phi(B) soit une valeur propre de B pour tout B", c'est à dire telle que F( Phi(B) , B)=0 pour tout B de V.
ça te dit toujours rien ?

[Simpi]

Bonjour, il doit s'agir du théoreme des fonctions implicites:
1) est de

2) Pour valeur propre de

3)
d'apres le theoreme des fonctions implicites:
- il existe un voisinage ouvert de

- Une application de classe
telles que:

.
et si on prend dans alors donc est valeur propre de .

[Ben314]

Oui, c'est bien le théorème des fonction implicites.
Après, regarde précisément dans ton cours cours comment il a donné les hypothèses : j'ai un peu des doutes concernant le fait que la propriété 3) que tu évoque (i.e. que la dérivée partielle en lambda au point (lambda,A) soit non nulle) soit donnée sous cette forme vu que cela ne s'applique qu'au cas des fonctions de R x R^m -> R alors qu'en toute généralité, le théorème des fonctions implicites peut s'appliquer pour des fonctions de R^n x R^m-> R^n (voire même de E x F -> E modulo de parler de "différentielle partielle")

[Simpi]

Bonjour, il y'avait un gros probleme de connexion dans ma localité. J'espere que vous allez continuer à me repondre.
J'ai verifié le theoreme des fonctions implicites et voici l'énoncé: soit U un ouvert de E * F, et f une application C^1 dans G. pour tout (x,y) de U, soit (a,b) de U, on suppose que la differentielle partielle f'(a, b) par rapport à la deuxieme variable au point (a,b) est un isomorphisme de F sur G. Alors il existe :
- un voisinage ouvert V de (a,b) dans E F
- un voisinage ouvert W de a dans E
- et une application h de W dans F tels que les assertions suivantes
1) le couple (x,y) est element de V et f(x,y) = f(a,b)
2) le point x est element de W et y = h(x)
soient equivalentes.
cependant la propriété 3) que j'ai evoqué vient du fait que la differentielle partielle en un point doit etre un isomrphisme.

[Ben314]

O.K.
Donc, à mon avis, la condition 3), je pense que ça serait mieux que tu la rédige en terme de "différentielle partielle" et pas en terme de dérivée partielle, c'est à dire que tu écrive plutôt ça :
"La différentielle partielle de F par rapport à la première variable est l'application qui est bien un isomorphisme vu que (car A est dans U.)"

C'est évidement la même chose que ce que tu as écrit, mais ça montre que tu connais bien le théorème...

[Simpi]

4) je dois montrer ici que est un ouvert de

ce qui implique donc

l'application etant continue est alors un ouvert.

5) soit
les sont des reels donc constants par consequent de classe

[Ben314]

... est un ouvert de

L'ensemble U dont parle l'énoncé, c'est pas du tout celui là.
- Déjà, ton ensemble il dépend de lambda donc si on devait lui donner un nom, ça serait plutôt un truc du style .
- Ensuite, le U de l'énoncé, c'est "le sous ensemble formé des matrices ayant valeurs propres réelles deux à deux distinctes", c'est à dire

soit encore

(Ce qui est évidement nettement plus compliqué que ce que tu propose).

Ensuite, même en supposant que ton U soit le bon, ça :

ça serait très clairement faux vu que l'ensemble ne dépend pas de alors que "ton" U dépend de : si , "ton" U, c'est l'ensemble des matrices dont le polynôme caractéristique s'annule en 1, c'est a dire l'ensemble des matrices ayant 1 comme valeur propre et il est clair que cet ensemble n'est pas le même que l'ensemble des matrices ayant 2 comme valeur propre (i.e. "ton" U dans le cas où )

Et enfin, la cerise sur le gâteau, c'est qu'évidement le singleton {0} est un fermé (et pas un ouvert) de R donc c'est un fermé (et pas un ouvert) de l'ensemble des matrices nxn.

Bref, en résumé, ton post précédent, c'est du "grand n'importe quoi".

A mon avis, pour montrer que le "vrai" U de l'énoncé est ouvert, il y a plus ou moins 2 approches : soit on utilise ce qu'on a déjà fait (plus précisément la question 3) qui parle déjà de voisinage d'une matrice A, soit... on ne l'utilise pas...

[Simpi]

Ok,
donc ,
1) le fait que implique que les verifie


2) le fait que les racines soient distinctes implique que ses racines sont simples c'est à dire


Si ce que j'ai dit est vrai alors vous avez raison on peut se servir de la 3) question:
soit comme le 1) et 2) cité sont verifiés alors d'apres la troisieme question il existe
un voisinage ouvert de ie
donc .
- Montrons maintenant que
soit . une idée?

[Ben314]

Sur l'idée, c'est déjà nettement mieux, mais la rédaction laisse franchement à désirer et je pense que c'est ça qui fait que tu es bloqué :

1) le fait que implique que les verifie

ça, c'est absolument pas clair du tout ce que ça signifie vu qu'en particulier tu n'as pas quantifié les variables et qui apparaissent dans cette phrase.
- Le , on peut considérer qu'il est sous entendu que c'est une matrice appartenant à l'ensemble U, mais à mon avis, ça serait bien mieux de l'écrire en toute lettre, ne serait-ce que du fait que plus tard, une fois plongé dans d'éventuels calculs techniques, tu risque d'oublier que A est dans U.
- Ce n'est pas " qui a n racines (distinctes)" mais "La fonction polynomiale \lambda\mapsto F(\lambda,A) qui a n racines distinctes". De nouveau, on peut trouver que c'est de l'enc... de mouche de faire la différence entre les deux, mais je pense que c'est important pour raisonner correctement. Pour que ait un sens, il faut connaitre F (là, c'est O.K), connaitre A (c'est O.K. aussi : c'est une matrice fixée de U) et connaitre et là, c'est pas O.K. du tout vu où on en est du laïus.
- Et là où on voit encore plus que ça déconne, c'est sur la fin de ta ligne, quand tu écrit "... vérifie ", c'est pour quel(s) lambda que cette égalité est vérifiée ? Surement pas "pour tout lambda réel" (ce qui est en général sous entendu quand on ne précise pas à quel ensemble appartient une variable), et si c'est "pour tout valeur propre de la matrice A" alors tu n'as fait que réécrire la définition de ce qu'est une valeur propre et tu n'as absolument pas traduit quoi que ce soit de lié au fait que "A admet n valeurs propres distinctes".

Bref, ce qu'il faut écrire, c'est :

1) Si est dans alors le fait que la fonction polynomiale ait n racine distinctes implique qu'il existe n réels distincts tels que

Ensuite, ton 2), c'est bien (à peu prés) ça qu'il faut écrire, mais il faut l'écrire avec les différents et pas comme tu l'écrit avec un "quelconque".
Arrivé à ce point, ce qu'il se dégage, c'est que le 3), on ne va pas l'appliquer UNE fois, mais n fois : une fois pour chaque ce qui va nous donner n voisinages de A ainsi que n fonctions .
Et il reste un (petit) truc à démontrer pour que ce soit fini...