Découpage de triangle

[chan79]

Salut
En prolongement du dernier topic initié par Dacu (Collège et Primaire):
On a un triangle ABC d'aire 100 cm².
M est un point de [AB] distinct de A et de B.
N est un point de [AC] distinct de A et de C.
Les segments [BN] et [CM] se coupent en O.
Je constate que les aires des triangles AMN, MNO, BMO, CNO et OBC sont des nombres entiers de cm².
Quelles peuvent être ces 5 aires ?

[anthony_unac]

Bonsoir,
En essayant de me remémorer le raisonnement sur la proportionnalité des aires, je propose pour débuter un système de trois équations :

[Imod]

Bonjour

Je n'ai pas vérifié si mes calculs sont justes

On note a , b , c , d et e les aires des triangles AMN , MNO , BOC , BOM et CON alors :

ac=(100-a)b et de=bc .

On voit très vite que seuls a=20 ou a=5 donnent des solutions entières .

Si a=20 alors c=4b donc b=1 (et c= 4 ) ou b=5 ( et c=20 ) .

Si a=25 alors c=b peut prendre les valeurs de tous les diviseurs de 100 ( sauf 100 ) .

Dans les deux cas les valeurs de d et e sont choisies telles que de=bc .

Tout ça fait quand même beaucoup de possibilités , je ne sais pas si elles sont toutes réalisables .

Imod

[chan79]

Salut Imod
ac=100b à mon avis

[Imod]

Merci Chan , j'ai fait ça trop vite

Avec mes notations précédentes on a 3 conditions en nombres entiers :

a+b+c+d+e=100
bc=de
ac=100b

Je n'ai pas trouvé de moyen simple de faire ça à la main et j'ai eu le plaisir de découvrir que mes vieux logiciels : Basic , Pascal , Fortran ne fonctionnaient plus sous Windows 10

Heureusement j'ai trouvé un truc de vieux qui s"appelle Small Basic et qui m'a bien aidé :

Les quintuplets ( a,b,c,d,e ) possibles sont : (10,5,50,10,25) , (28,7,25,5,35) et ( 36,9,25,15,15) .

Je ne sais pas si on peut trouver ça à la main et je n'ai pas vérifié si chaque solution était réalisable .

Il est quand même marrant ce problème : je le garde

Imod

[chan79]

Les quintuplets ( a,b,c,d,e ) possibles sont : (10,5,50,10,25) , (28,7,25,5,35) et ( 36,9,25,15,15) .

salut Imod
J'ai les mêmes, plus deux autres en permutant certains nombres.


Ci dessous un exemple de construction pour le dernier.



Egalement:



A+

[Imod]

Une petite question ( je suis un autodidacte complet en géométrie ) :

Si on trace deux segments issus de deux des extrémités d'un triangle pour les joindre aux côtés opposés , on partage alors le triangle en trois triangles et un quadrilatère . L'aire du quadrilatère peut-il être calculé à partir de celui des triangles ?

Je cherche une réciproque au problème

Imod

[aymanemaysae]

Bonsoir;

Oui! Vous trouverez la solution ici .

[chan79]

C'est pour avoir x en fonction de a, b et c ?

[aymanemaysae]

Bonsoir;

Comme c'est cité dans le lien sus mentionné : avec .

[chan79]

oui, mais les lettres ne représentent pas les aires des mêmes triangles dans mon dessin, sinon c'est bien ça.

[Imod]

J'essaie de réfléchir au problème durant le peu de temps libre que me laisse cette odieuse réforme des collèges

Je n'ai pas vraiment compris comment on insère une image ( ça change tout le temps ... )

On dessine un triangle ABC rectangle en A , le côté [AB] mesure 2 , on place les points M et N sur [AC] tels que AM=c et MN=d . On place P sur [BC] de façon à ce que la hauteur issue de P du triangle ABP soit c+e . En déplaçant le point P vers le haut ( en suivant la direction A->C ) on voit que la position limite est atteinte quand c²=de . Avant cette position il y a toujours une solution abcde .

On obtient déjà que les trois solutions proposées sont réalisables

Plus généralement , pour tout quintuplet d'entiers (a,b,c,d,e) , vérifiant bc=de et a+b+c+d+e=ac/b est-on assuré que c²>de et qu'i existe donc bien une solution ?

Imod

Bonne soirée à tous

PS : tout ça est un peu confus mais bon

[Imod]

J'ai proposé deux variantes sur le site http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=13155

Les réponses sont cachées pour le moment mais il n'est pas interdit de participer

Imod

[chan79]

Plus généralement , pour tout quintuplet d'entiers (a,b,c,d,e) , vérifiant bc=de et a+b+c+d+e=ac/b est-on assuré que c²>de et qu'i existe donc bien une solution ?

Imod

salut
on suppose


on a alors

la fraction est plus grande que 1 donc

En multipliant par

ou

Le cas c²=de semble correspondre à cette figure



si (BM) et (CN) sont parallèles, BMN et BMC ont la même aire
d+b=d+c
donc b=c

bc=de donne donc c²=de

[Archimed12]

Les quintuplets ( a,b,c,d,e ) possibles sont : (10,5,50,10,25) , (28,7,25,5,35) et ( 36,9,25,15,15) .

salut Imod
J'ai les mêmes, plus deux autres en permutant certains nombres.


Ci dessous un exemple de construction pour le dernier.



Egalement:
prêt


A+

Bravo, c'est un très beau travail