Exercice de Spe

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 11:17

Bonjour à tous, j'ai un exercice de Spe Maths à faire pour demain et je bloque completement sur une question :

Le nombre n désigne un entier naturel.
1) Démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par n+1.
J'ai réussi cette question, il suffit de montrer que -1 est racine de chacun des 2 trinomes.
2)Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1.
Je bloque completement ici.
3) En déduire que, quel que soit n, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2.
Peut être qu'avec un peu d'aide sur la deuxieme question je pourrai réussir celle ci.

Merci d'avance.

~Hitsugaya.

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 11:35

Salut,

Pour la 1 )

Il suffit de montrer que (n+1)*(....) = n²+5n+4 idem pour n²+3n+2

Pour la 2 )

Comme 3n²+15n+19 = 3*(n²+5n+4) + 7

Alors :

Si n+1 divise 3n²+15n+19, n+1 divisant aussi n²+5n+4, alors n+1 divise la combinaison linéaire 3n²+15n+19-3*(n²+5n+4) = 7

Réciproque :
Si n+1 divise 7, n+1 divisant aussi n²+5n+4 alors n+1 divise la combinaison linéaire 3*(n²+5n+4) + 7 soit 3n²+15n+19

Ainsi on a

n+1 divise 7 n+1 divise 3n²+15n+19

n+1 divise 3n²+15n+19 ( n+1 = 7 ou n+1 = 1 )
n = 6 ou n = 0

Donc L'ensemble E pour lesquels n+1 divise 3n²+15n+19 est lorsque n

{0 ; 6 }.

3 )
Fais un raisonnement par l'absurde

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 17:08

Hé merci beauoup. J'ai compris la démarche ;) Sympa

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 17:12

nxthunder a écrit:Si n+1 divise 3n²+15n+19, n+1 divisant aussi n²+5n+4, alors n+1 divise la combinaison linéaire 3n²+15n+19-3*(n²+5n+4) = 7

Par contre il me semble bien que tu as fait une petite faute de frappe ici, ça ne serait pas +7 plutôt ?

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 17:36

Hé nan car tu as ca : 3n²+15n+19 = 3*(n²+5n+4) + 7
Tu mets 3*(n²+5n+4) dans l'autre membre cela te donne :

3n²+15n+19 = 3*(n²+5n+4) + 7
<=>
3n²+15n+19 - 3*(n²+5n+4) = 7

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 17:51

Ha oui j'suis bête ^^ oui exact... Ha oui donc on trouve 6 et 0 car 7 est premier.

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 17:56

nan ca n'a rien a voir avec les nombres premiers

En fait tu cherches tout les "n" tel que

ou "c" est un entier naturel ou relatif ( cela dépend des conditions de ton énoncé, moi j'ai pris les naturels car j'avais pas envie d'écrire toute les solutions ^^ )

Ainsi cela revient a résoudre n+1 = 7 ( car 7 divise 7 ) et ou n+1 = 1 ( car 1 divise 7 )

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 18:08

Exact. ^^ Oui c'est bien dans N.
Merci pour ton temps. J'ai un peu de mal avec ces trucs. Ca change des maths "normales" cette facon de reflechir.

Pour le raisonnement par l'absurde de la 3ème question tu pars de :

Si (n²+3n+2) | (3n²+15n+19)

... Il faut utiliser quelle propriété ? on utilise le même raisonnement que pour la question 2 ?

Désolé pour toutes ces questions... C'est "nouveau" tout ça ^^

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 18:13

Ouai pour la question 3 faut poser comme condition

On suppose que (n²+3n+2) | (3n²+15n+19)
donc d'apres la question 1 ); n+1 divise n²+3n+2 et forcément n+1 divise 3n²+15n+19 et forcément cela revient a chercher 2 cas; cas ou n=6 ou n = 0.

Donc tu calcules d'un coté

3n²+15n+19 pour n = 6
puis n²+3n+2 pour n = 6 tu vas trouver un certains résultat et partir de cela tu pourras déduire qqch

Idem pour n = 0

Tu vois le cheminement ?

PS : je te rassure j'ai eu aussi un peu de mal, mais regarde dans ton livre cest pas mal expliqué aussi, d'ailleurs mon livre est mieux que mon prof de spé :p

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 18:25

Ha ok donc ça fait :

On suppose que (n²+3n+2) | (3n²+15n+19)

On sait que (n+1) | (n²+3n+2)
et que (n+1) | (3n²+15n+19) pour n

{0;6}

- Si n = 0
n²+3n+2 = 2 et 3n²+15n+19 = 19
Or 2 ne divise pas 19 (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19) pour n=0

- Si n = 6
n²+3n+2 = 56 et 3n²+15n+19 = 217
Or 56 ne divise pas 217 (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19) pour n=6

Donc (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19).

C'est ça ?

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 18:35

Parfaitement :we:

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 18:39

Ok, je te remmercie. J'ai enfin compris comment ça fonctionnait vraiment le raisonement par l'absurde. ^^

Par contre je voulais savoir est-ce qu'il faut mettre une phrase de conclusion du genre "Par l'absurde on en déduit que.... ne divise pas...." ?

Merci encore pour ton temps.

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 18:44

Oui une phrase de conclusion est toujours mieux que rien

par **Hitsugaya** » 08 Oct 2006, 19:19

Et bien merci encore ^^ Bon bah maintenant à la philo !! :triste:

par **nxthunder** » 08 Oct 2006, 19:20

Pas de soucis ^^ :happy2:

Exercice de Spe

Exercice de Spe

Qui est en ligne