Récurrence

[zygomatique]

salut

puisqu'on en plein dans la récurrence un exercice intéressant il me semble

soit k un entier non nul

à partir de quel rang la propriété est-elle héréditaire ?

[samoufar]

Bonsoir,

Cette propriété est équivalente (du moins pour n>0) à



(après je ne sais pas si c'est utile )

[Matt_01]

En étudiant la monotonie de n -> ln(n)/n, on a que la suite (ln(n)/n) est décroissante à partir de n=3.
Donc : Si ln(3)/3 > ln(2)/k alors la propriété est héréditaire à partir du moment où elle est vraie.
Mais en fait ln(3)/3 < ln(2)/k implique k=1 et dans ce cas on trouve que la propriété est héréditaire à partir de n=0.

[samoufar]

Donc : Si ln(3)/3 > ln(2)/k alors la propriété est héréditaire à partir du moment où elle est vraie.

Il faut considérer le premier entier non nul puisque P(0) est toujours vraie

[zygomatique]

j'ai posé cette question ... parce que je me posais cette question ...

si je comprends bien la question que je me suis posée


le problème est de trouver à partir de quel n P(n) est héréditaire ...

c'est à dire trouver le n tel que partant de P(n) on arrive à P(n + 1)

c'est pourquoi je ne suis pas d'accord

Math-01 démontre à partir de quel n P(n) est vraie mais pas à partir de quel n P(n) est héréditaire

[Matt_01]

j'ai posé cette question ... parce que je me posais cette question ...

si je comprends bien la question que je me suis posée


le problème est de trouver à partir de quel n P(n) est héréditaire ...

c'est à dire trouver le n tel que partant de P(n) on arrive à P(n + 1)

c'est pourquoi je ne suis pas d'accord

Math-01 démontre à partir de quel n P(n) est vraie mais pas à partir de quel n P(n) est héréditaire

Il s'avère que pour k>1, elle est héréditaire à partir du moment où elle est vraie (si on prend on compte la remarque de samoufar en ne considérant pas n=0).

[Ben314]

Salut,
Rappel : (de logique élémentaire) la proposition mathématique "A => B" est vrai lorsque A est faux ou bien (inclusif) B vraie.
Par exemple, la proposition "P(n) => P(n+1)" (je pense que c'est ça que tu désigne par "héréditaire") est vraie sauf lorsque P(n) est vraie et P(n+1) fausse.

Ensuite, l'étude des variations de la fonction x->ln(x)/x permet de voir que, si k>=3 alors P(0) et P(1) sont vraies, puis P(2), P(3,),..., P(n0) sont faux puis de nouveau P(n0+1), P(n0+2), P(n0+3),... sont vraies (pour un certain n0 dépendant de k).
Et cela signifie que la propriété P(n) est héréditaire pour tout entier n, sauf pour n=1 où P(1)est vrai mais pas P(2).

(et si j'ai posté, c'est principalement pour dire que de chercher quand est-ce que P est héréditaire, dans un cas pareil, il me semble que le plus simple, et de loin, c'est de commencer par chercher quand est-ce qu'elle est vrai pour en déduire quand est-ce qu'elle est héréditaire)

[zygomatique]

pour n = 0 ou n = 1 elle est vraie effecitvement

ensuite

qui est donc ton n_0

et oui hormis 0 et 1 P(n) est héréditaire (bien) avant d'être vraie ...

[Doraki]

pour n = 0 ou n = 1 elle est vraie effecitvement

ensuite

qui est donc ton n_0

et oui hormis 0 et 1 P(n) est héréditaire (bien) avant d'être vraie ...

Surement pas !! pour k=4 le n0 de ben est 15 alors que ta formule donne 5.28... (et elle est héréditaire à partir de 2)

[zygomatique]

oui j'ai réalisé bien tardivement que je racontais des c...

en fait le poste de ben314 montre que ma question était ambiguë

j'entendais par héréditaire le fait que : P(n) est vraie et P(n) => P(n + 1) est vraie .... qui commence au n_0 que ben314 explicite ...

mais bon je me rends compte que j'ai été confus en fait dans ce que je voulais car je voulais ce que ben314 me corrige ... mais en pensant le "j'entendais par héréditaire ...." (voir phrase au dessus)

bon si vous me suivez pas c'est pas grave ...

merci pour vos réponses qui m'éclairent sur ce que je voulais ...