Tribu

[Ncdk]

Bonjour,

Je dois montrer que :

est une tribu sur

Déjà pour montrer que l'ensemble vide est dans A, j'ai du mal... Il faudrait montrer qu'il existe un intervalle de tel que est vide non ?

[Ben314]

Salut,
Déjà, pris stricto sensu (et c'est ce que doit faire un matheux quand il lit quelque chose), ton truc n'a pas de sens.
Tu demande de "montrer que A =???" alors qu'on a pas de définition de ce qu'est A. Comment veut tu qu'on démontre quoi que ce soit ?

Bon, en fait, vu le titre du post, je suppose que le vrai énoncé, c'est
"Soit A=... Montrer que A est une tribu sur R"
Mais ça serait grandement temps de comprendre que, quand tu écrit quelque chose en math., ce n'est pas au lecteur de "lire entre les lignes" pour essayer de comprendre ce que tu as bien pu vouloir dire.

Enfin, si l'énoncé est effectivement celui çi dessus, alors que pense tu de lorsque (qui est bien inclus dans ) ?

P.S. : un "intervalle de ", déjà, je suis pas sûr de bien comprendre ce que ça signifie, et ensuite, je vois pas trop le lien qu'il pourrait éventuellement y avoir entre ton énoncé et un/des "intervalle(s) de "

[Ncdk]

En effet, j'ai pensé à mettre l'énoncé en entier mais ça m'est complètement sortit de la tête, je vais éditer ça merci. (ça prouve que je me suis pas relu aussi :O)

Mais pour en revenir à nos moutons, effectivement il faut montrer que c'est une tribu sur R.

Oui en effet, mais en réalité, dans l'énoncé il est pas dit que I est un intervalle de Z, je l'ai pensé, mais c'est aberrant au vu de , je pense que I est une partie de Z est plus adéquat non ?

[lionel52]

L'ensemble vide est une partie de Z

[Ben314]

... je pense que I est une partie de Z est plus adéquat non ?

Oui, c'est effectivement ce que te dit l'énoncé :
A est l'ensemble de toutes les parties de R de la forme avec I est inclus dans Z.

Si tu préfère dire/écrire "I est une partie de Z" à la place de "I est inclus dans Z", ça ne change évidement rien :
Écrire que (A est inclus/contenu dans B) ou bien que (A est une partie de B) revient au même.
Enfin, bref, ce qui est important, c'est que l'on peut prendre vu qu'il est bien inclus dans (ou, si tu préfère, "vu que c'est bien une partie de ")

Et dans ce cas (), c'est quoi l'élément de A correspondant ?

[Ncdk]

Hum... ça donne une union vide en fait, vu qu'il n'y a pas de n au final. Alors l'élément de A c'est bien

Pour la suite, j'ai pris un ensemble B de la forme , en essayant de voir ce que je pouvais en tirer du complémentaire, mais je retombe pas sur quelque chose qui appartient de manière évidente à A

[Ben314]

Pour voir si c'est bien clair dans ta tête, donne moi un exemple (ni trop simple, ni trop compliqué) d'une partie X de R qui soit effectivement un élément de A (attention à ne pas se mélanger les pinceaux : A est un ensemble de parties de R, un élément de A, c'est une partie de R)
Exemple : X=....
C'est quoi le complémentaire (dans R) de X ?
Est-ce un élément de A ?

Si tu comprend comment ça marche sur un malheureux exemple, ben c'est quasi fini vu que le cas général, c'est la même chose...

[Ncdk]

J'aurai prit qui est bien un élément de A.
Le complémentaire de X c'est et c'est là ou j'ai tendance à dire que c'est un élément de A car c'est une union d'intervalle, mais ils ont pas la forme de ceux de A par exemple. Après, je pense que ce qui me bloque c'est que I est dans Z et est-ce qu'on peut prendre et dans notre I, je vois pas pourquoi on pourrait pas, mais si tout est bon, ça devrait être dans A du coup.

Et le cas général est similaire du coup, enfin à quelque chose prêt.

[Ben314]

Perso, comme exemple, j'aurais quand même pris un truc un peu moins "trivial" :
Par exemple, si on prend comme partie de Z l'ensemble I={-2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...} ça nous dit que l'ensemble
X = [-2,-1[ u [3,5[ u [7,+oo[ est un élément de A.

Sinon, je te rappelle que +oo n'est surement pas un élément de Z (ni de R, ni de C !!!), la NOTATION [1,+oo[ sert uniquement à désigner l'ensemble des réels >=1 sans qu'il y ait de contrainte maximum et le +oo qui apparait dans cette NOTATION n'est pas un "nombre" mais juste un symbole placé là pour signifier l'absence de "contrainte maximale" : on aurait aussi bien pu prendre comme notation un truc du style [1,-[

Et cet ensemble [1,+oo[ est bien un élément de A vu qu'on peut l'écrire sous la forme [1,2[u[2,3[u[3,4[u...

[Ncdk]

Bonjour,

D'accord je comprends mieux merci.

Mais pour le cas général, à la base, avant même d'avoir posté le message sur l'exemple j'étais partit sur ce genre de réponse :

Soit , alors est de la forme

Par passage au complémentaire de B, on a : et cette quantité : peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles du type où avec une partie de . Ce qui implique que c'est un élément de A, après la question se pose pour une intersection dénombrable d'éléments A, est-ce que c'est dans A ?

Je voyais ça comme preuve, mais j'ai l'impression de faire fausse route, surtout pour , ça me dérange pour toujours avoir des intervalles du type . Mais aussi j'ai surtout l'impression que c'est la réponse au dernier axiome à vérifier pour montrer que c'est une tribu.

[Ben314]

Soit , alors est de la forme

Par passage au complémentaire de B, on a :

Effectivement, ça, c'est plus ou moins juste (modulo que le complémentaire de , c'est ouvert en n et pas fermé comme tu l'as écrit).
Mais bien que ce soit (presque) juste, je suis pas sûr du tout que ce soit malin de l'écrire comme ça vu qu'à première vue, ç'est pas clair de savoir si une telle intersection est ou n'est pas un élément de A : les éléments de A sont les ensembles qui s'écrivent comme réunion d'intervalles de la forme [n,n+1[ et, pour le moment, on ne sait pas si A est stable par intersection (dénombrable) ou pas.

Comme ça a pas l'air de venir tout seul, je te donne la piste : Les intervalles de la forme [n,n+1[ avec n dans Z forment une partition de l'ensemble R donc, par exemple, le complémentaire de l'un d'entre eux, ben c'est la réunion de tout les autres.
Et si on prend la réunion des [n,n+1[ pour tout les n appartenant à une certaine partie I de Z, ben le complémentaire de cette réunion, c'est...

P.S. Et en fait, il y a une façon un peu "théorique" de complètement "plier" l'exercice en une et une seule ligne : on verra après que tu l'ait fait "à la main"

[Ncdk]

Ah, oui je me suis trompé pour la fermeture de n, erreur sur mon brouillon. Du coup si je comprend bien c'était pas une bonne manière de s'y prendre :p

Je pensais à personne, mais en fait non, le complémentaire de cette réunion c'est la réunion de tous les autres sauf que n (enfin appelons le k) est dans qui est une partie de . Puis c'est immédiat du coup.

Mais du coup, le dernier axiome m'a l'air trivial, enfin il faut juste faire attention dans les notations puisqu'on aura une réunion d'une réunion d'intervalle, qui au final reste dans A (par définition de A).

[Ben314]

Oui, en fait tout est trivial une fois qu'on a compris que LE truc important là dedans, c'est que les intervalles de la forme ]n,n+1] avec n dans Z forment une partition de R.

Et en fait, si c'est aussi trivial, c'est que l'application est un "isomorphisme d'algèbre de Boole", c'est à dire une bijection (la bijection réciproque étant en fait ) qui préserve les réunion, les intersections et les passages au complémentaire (par exemple )

Et ça signifie que la "structure" de A (vérifie t'il les axiomes de tribu ou pas ?) est la même que celle de qui lui est très clairement une tribu.

[Ncdk]

D'accord, et si je comprend bien, on pouvait plier l'exercice en une seule ligne c'est-à-dire en disant que A forment une partition de R et c'est donc la plus grande tribu dans R si je dis pas de bêtises ?

Pour le bas de ton message, j'ai bien compris car je connais les notions, mais pour voir ça dans cet exercice c'est plutôt sympa

Merci de ton aide

[Ben314]

Je sais pas trop ce que ça peut vouloir dire "la plus grande tribu" (ou alors, c'est "la plus grande" au sens de l'inclusion et dans ce cas, très clairement, la "plus grande tribu" sur un ensemble Omega quelconque, c'est P(Omega) : l'ensemble des parties de Omega).

A la limite, ce qu'on peut dire ici, c'est que A est la tribu engendré par les intervalles [n,n+1[ avec n dans Z (c'est à dire la plus petite tribu contenant ces intervalles).

[Ncdk]

Oui c'est ce que je voulais dire, au sens de l'inclusion.

Très bien merci