J'arrive pas à montrer que cette suite est convergente:
En procédant par le calcul de Un+1 - Un,en posant t=k +1,
J obtiens :
J ai peut etre fait une erreur car j arrive pas à éliminer cette somme
Merci pour votre aide
Convergence
12 messages
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Convergence
par ariel60 » 30 Aoû 2016, 09:44
Bonjour,
J'arrive pas à montrer que cette suite est convergente:
(n+k+1)}}})
En procédant par le calcul de Un+1 - Un,en posant t=k +1,
(n+k+2)}}} -\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}})
(n+t+1)}}} -\sum_{t=2}^{n+1}{\frac{1}{\sqrt{(n+t-1)(n+t)}})
J obtiens :\left( \frac{1}{\sqrt{n+t+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+t-1}}\right) } + \frac{1}{\sqrt{(2n+2)(2n+3)}})
J ai peut etre fait une erreur car j arrive pas à éliminer cette somme
Merci pour votre aide
J'arrive pas à montrer que cette suite est convergente:
En procédant par le calcul de Un+1 - Un,en posant t=k +1,
J obtiens :
J ai peut etre fait une erreur car j arrive pas à éliminer cette somme
Merci pour votre aide
Re: Convergence
par lionel52 » 30 Aoû 2016, 10:24
Un <= somme 1/(n+k) = 1/n * somme 1/(1 + k/n) et ce truc là converge (somme de Riemann)
Re: Convergence
par Razes » 30 Aoû 2016, 10:59
Il y avait une erreur dans tes sommes (tu as modifier les bornes de la somme (ce qui est correct) et aussi dans les expressions du dénominateur (ce qui n'est pas correct) ):
(n+k+1)}}} -\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}}={\frac{1}{\sqrt{(n+n+1)(n+n+1+1)}}} ={\frac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}})
Re: Convergence
par aymanemaysae » 30 Aoû 2016, 11:21
Bonjour,
Une autre façon de voir les choses :
On a(n+k+1)}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} = H_{2n}-H_n)
: avec 
la nième somme partielle
de la série harmonique .
On a + \gamma + o(1))
donc  - \gamma \underset {+\infty}{=} o(1))
donc - \gamma - H_n + \ln(n) + \gamma \underset {+\infty}{=} o(1))
donc \underset {+\infty}{=} o(1))
donc \underset {+\infty}{=} o(1))
donc = 0)
donc)
donc la suite de terme général(n+k+1)}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k})
converge.
Une autre façon de voir les choses :
On a
de la série harmonique .
On a
donc
donc
donc
donc
donc
donc la suite de terme général
Re: Convergence
par aymanemaysae » 30 Aoû 2016, 11:51
Bonjour;
Cette solution m'a beaucoup plu , et pour remercier son auteur , je la réécris en Latex:
On a(n+k+1)}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}})
et comme on a)
donc(n+k+1)}})
converge .
lionel52 a écrit:Un <= somme 1/(n+k) = 1/n * somme 1/(1 + k/n) et ce truc là converge (somme de Riemann)
Cette solution m'a beaucoup plu , et pour remercier son auteur , je la réécris en Latex:
On a
et comme on a
donc
Re: Convergence
par ariel60 » 30 Aoû 2016, 14:32
Razes a écrit:Il y avait une erreur dans tes sommes (tu as modifier les bornes de la somme (ce qui est correct) et aussi dans les expressions du dénominateur (ce qui n'est pas correct) ):
Ma question peut paraitre un peu bete mais pour Un+1, ne faut il pas remplacer les n par des n+1 dans les denominateurs?
Merci
Re: Convergence
par Razes » 30 Aoû 2016, 15:01
Ouiariel60 a écrit:Razes a écrit:Il y avait une erreur dans tes sommes (tu as modifier les bornes de la somme (ce qui est correct) et aussi dans les expressions du dénominateur (ce qui n'est pas correct) ):
Ma question peut paraitre un peu bete mais pour Un+1, ne faut il pas remplacer les n par des n+1 dans les denominateurs?
Merci
Re: Convergence
par lionel52 » 30 Aoû 2016, 15:15
En vrai on a tous faux, on a pas montré que (Un) était croissante
Par contre en reprenant l'inégalité dans l'autre sens
/n) = 1/n (\sum_{k= 1}^n 1/(1 + k/n) + 1/(1 + (n+1)/n) - 1/(1 + 1/n)) \to ln(2))
Puis théorème des gendarmes
Par contre en reprenant l'inégalité dans l'autre sens
Puis théorème des gendarmes
Re: Convergence
par zygomatique » 30 Aoû 2016, 18:28
salut
ben si Razes a justifié que la suite est croissante ... enfin avec une erreur ....
pour simplifier l'écriture je pose = \dfrac 1 {\sqrt {n + x}})
f(k + 1 + 1) - \sum_1^n f(k)f(k + 1)= f(n + 2)f(n + 3) - f(1)f(2))
(somme télescopique)
il me semble qu'il est aisé de déterminer le signe de ce nombre en passant par la quantité conjuguée ...
ben si Razes a justifié que la suite est croissante ... enfin avec une erreur ....
pour simplifier l'écriture je pose
(somme télescopique)
il me semble qu'il est aisé de déterminer le signe de ce nombre en passant par la quantité conjuguée ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
Re: Convergence
par Razes » 30 Aoû 2016, 22:57
@zygomatique: Salut
J'ai vu l'erreur, je l'avais corrigé sans la poster car je trouvais cela trop long et je me disais qu'il doit y avoir une solution plus courte.
La partie de la convergence par encadrement "gendarmes" m'a bea plus.
Ce que j'avais noté est le suivant:
(n+k+2)}}} -\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}}=)
(n+k+1)}}} -\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}}=)
(n+n+2+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+n+1)(n+n+1+1)}}-\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+1+1)}}=)
(2n+3)}}+\frac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}-\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left ( \frac{1}{\sqrt{2(2n+3)}} +\frac{1}{\sqrt{2(2n+1)}}-\frac{1}{\sqrt{(n+2)}}\right )=)
^{-\frac{1}{2}}\left (\frac{1}{2}\left (\left (1+\frac{3}{2n} \right )^{-\frac{1}{2}}+\left (1+\frac{1}{2n} \right )^{-\frac{1}{2}} \right )-\left (1+\frac{2}{n} \right )^{-\frac{1}{2}} \right ))
Ceci nécessite un petit développement limité qui doit mener au résultat.
@zygomatique:
Pour ta somme, ça ne serait pas plutôt ça?
f(k + 1 + 1) - \sum_{k=1}^n f(k)f(k + 1)=)
f(k + 1) - \sum_{k=1}^n f(k)f(k + 1)= f(n + 2)f(n + 3) + f(n + 1)f(n + 2)- f(1)f(2))
J'ai vu l'erreur, je l'avais corrigé sans la poster car je trouvais cela trop long et je me disais qu'il doit y avoir une solution plus courte.
La partie de la convergence par encadrement "gendarmes" m'a bea plus.
Ce que j'avais noté est le suivant:
Ceci nécessite un petit développement limité qui doit mener au résultat.
@zygomatique:
Pour ta somme, ça ne serait pas plutôt ça?
Re: Convergence
par zygomatique » 31 Aoû 2016, 18:31
effectivement ...
(2n + 3)}} + \dfrac 1 {\sqrt {(2n + 1)(2n + 2)}} - \dfrac 1 {\sqrt{(n + 1)(n + 2)}} = (*))
je factorise par
qui est positif et cela donne donc
 = \dfrac 1 {\sqrt { n + 3/2}} - \dfrac 1 {\sqrt {n + 2}} + \dfrac 1 {\sqrt {n + 1/2}} - \dfrac 1 {\sqrt {n + 2}})
or les deux différences sont positives (croissance de la fonction racine et décroissance de la fonction inverse)
donc la suite (u_n) est croissante
...
je factorise par
or les deux différences sont positives (croissance de la fonction racine et décroissance de la fonction inverse)
donc la suite (u_n) est croissante
...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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