Intégration de "dx" ?

[Cond2016]

Bonjour,

Je ne sais plus où j'ai vu ça, mais dans un truc de physique, pour une démo, il manipulaient une équation différentielle pour atteindre ça :



Désolé, j'arrive plus à retrouver l'énoncé complet (je pensais l'avoir lu dans un livre, mais après l'avoir lu 10 fois, impossible de trouver cette démonstration ! Je dois devenir fou...) mais je me souviens qu'il n'y avait pas de bornes comme j'ai mis.

Si c'est impossible, que j'ai inventé ça de je ne sais où, dites le moi !

Et de façon générale : Qu'est-ce qu'on à le droit de faire avec ce genre de chose ?

[Lostounet]

Hello,

Il s'agit du symbole intégrale. Des fois par abus on peut (en physique ou à l'anglaise) l'écrire sans bornes pour signifier "a pour primitive".
Ici, l'intégrale de dx c'est l'intégrale de la fonction constante "1"dx.
La fonction qui à x associe x a pour dérivée la fonction constante de valeur 1. Donc c'en est une primitive.

Je ne comprends pas la deuxième question par contre. Faire quel genre de choses?

[Cond2016]

Ah merci, je comprend, le physicien pense au x1 ! Génial, c'est claire maintenant.
La deuxième question reformulée :
Avec ce genre d'expressions , le physiciens manipulent comme une fraction de type . Mais au final, j'ai le droit de faire quoi avec et ?

[Razes]

Ceci est un abus d'écriture, normalement c'est ou .

[Skullkid]

Ah merci, je comprend, le physicien pense au x1 ! Génial, c'est claire maintenant.
La deuxième question reformulée :
Avec ce genre d'expressions , le physiciens manipulent comme une fraction de type . Mais au final, j'ai le droit de faire quoi avec et ?

Salut, si tu fais des calculs "à la physicienne" et que tu n'as qu'une seule variable, normalement tu peux t'en sortir avec les règles de calcul normales, en ajoutant la règle "f(x+dx) = f(x) + f'(x)*dx pour tout x et toute fonction f dérivable". Évidemment, le mieux est de procéder rigoureusement "à la matheuse", surtout si tu as un doute.

Ceci est un abus d'écriture, normalement c'est ou .

Bah en vrai les 3 sont des abus d'écriture... le x figure à la fois en tant que variable muette et en tant que variable libre.

[Black Jack]

Évidemment, le mieux est de procéder rigoureusement "à la matheuse", surtout si tu as un doute.

Oui, sauf que ....
La méthode "à la physicienne" est parfaitement rigoureuse.
Elle a été validée par une théorie mathématique dans les années 1960 développée par le mathématicien Robinson (et quelques autres).
Cette théorie est l'ANS (analyse non standard), qui a défini rigoureusement la notion "d'infiniment petits" et ce qui peut leur être appliqué (opérations mathématiques ...)

Remarque, l'ANS va bien plus loin que son utilité dans les équations différentielles, néanmoins c'est (avis personnel) spécialement dans ce domaine qu'elle est intéressante ... par les simplifications qu'elle apporte dans les calculs liés à ces applications.

... et elle a aussi l'avantage de faire taire les matheux qui ont souvent tendance à "prendre de haut" la manière de faire des physiciens, alors qu'ils ignorent (les matheux), pour beaucoup, que cette méthode est maintenant mathématiquement rigoureusement justifiée.

[Skullkid]

Je suis physicien, ça fait un bail que j'utilise le formalisme en question et je ne le prends certainement pas de haut. Il marche très bien et son exactitude est facilement prouvable rigoureusement quand on sait de quoi on parle, sans même avoir besoin de recourir à des théories modernes type ANS. Il n'empêche qu'il est non rigoureux (le formalisme, pas les démonstrations qu'on peut faire avec) parce qu'il regorge d'abus de langage, qui ne concernent d'ailleurs pas que la manipulation des infinitésimaux. Ces abus de langage ne posent aucun problème à l'utilisateur habitué mais peuvent être fatals quand on débute, la preuve en est la question "qu'est-ce que j'ai le droit de faire avec les dx ?", qui est récurrente.

Donc je maintiens mon conseil à Cond2016 : TOUJOURS vérifier son raisonnement en le répétant avec le formalisme matheux si on a doute. Après avoir suffisamment roulé sa bosse et avoir bien intégré les pièges à éviter on peut choisir le formalisme qu'on préfère.

[Black Jack]

Les abus de langage ou d'écriture n'ont rien à voir avec la "méthode des physiciens" ni d'ailleurs avec des "méthodes des matheux", ils sont seulement caractéristiques des utilisateurs qui font un peu n'importe quoi.

La "méthode des physiciens" bien respectée dans son écriture est tout aussi rigoureuse que la plus rigoureuse des méthodes "mathématiques", je n'ai rien prétendu d'autre, c'est mon avis ... et je le partage (c'est déjà cela)