Dimension finie et applications linéaires

[Lucas777777]

Bonjour,

Soit E un C espace-vectoriel de dimension n appartenant à N.
Soient u et v deux endomorphismes de E tels que u+v= idE et rg(u)+rg(v)<=n
1) Montrer que Im(u) et Im(v) sont supplémentaires de E
2) Montrer que u°v=v°u
3)Montrer que u et v sont deux projecteurs de E

1) D'après mon cours, il faudrait montrer que
dim(E)=dim(Im(u))+dim(Im(v)) et que

Donc
dim(E)=dim(Im(u))+dim(Im(v))
==> n= rg(u)+rg(v)
On a déjà une inclusion grâce à l'énoncé , il reste à montrer l'autre inclusion mais là je ne sais pas comment m'y prendre

Merci d'avance pour votre aide

[zygomatique]

salut

puisque u + v = I on en déduit que pour tout x : u(x) + v(x) = x donc E = Im u + Im v

or Rg u + Rg v =< n <=> Dim (Im u) + Dim (Im v) =< n

et Dim (Im u + Im v) = Dim (Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v) <=> n = Dim(Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v) =< Dim (Im u) + Dim (Im v) =< n

...

[Lucas777777]

Effectivement, je suis parti sur les noyaux, en essayant de montrer que Ker(u)=Im(v) mais j'ai pas réussi à conclure alors que là, ça va tout seul, si on pense à utiliser dim(a+b). Merci !!

Pour montrer que l'intersection est nulle, est ce qu'il suffit d'utiliser
n = Dim(Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v)

et comme on a montrer que n= Dim(Im u) + Dim (Im v) donc Dim (Im u Im v)=0
donc u v =0 ?????

[zygomatique]

si on a :: n = Dim (Im u) + Dim (Im v) =< n alors ?

[Lucas777777]

Dans ce cas rg(u)+rg(v)=n ?

[zygomatique]

oui ...

même si j'ai fait une petite erreur ...

puisque u + v = I on en déduit que pour tout x : u(x) + v(x) = x donc E = Im u + Im v

or Rg u + Rg v =< n <=> Dim (Im u) + Dim (Im v) =< n

et Dim (Im u + Im v) = Dim (Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v) <=> n = Dim(Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v) =< Dim (Im u) + Dim (Im v) =< n

on en déduit que Dim (Im u) + Dim (Im v) - Dim (Im u Im v) = n <=> rg u + rg v = n + Dim (Im u Im v) =< n => Im u et Im v sont supplémentaires

..

[Lucas777777]

Merci pour ton aide

pour la seconde question, je pense avoir trouvé la solution :

u o v = u o( I-u)=u-u²= (I-u) - (I-v)²=I-v-(I-2v+v²)=v-v²=v o (I-v)=v o u

Donc on a bien, u o v =v o u

Et pour la troisième question, je pense qu'il faut montrer que u o v =0
Pour en déduire que u-u²=0 <=> u²=u
ainsi que v-v²=0 <=> v²=v

Des petites idées pour montrer que u o v = 0, à moins que ce ne soit pas le résultat demandé ?

[Pseuda]

Des petites idées pour montrer que u o v = 0, à moins que ce ne soit pas le résultat demandé ?

Bonjour,

(u o v)(x)= u(v(x)) appartient à quel s-ev ?
(v o u)(x)= v(u(x)) appartient à quel s-ev ?

Tu as montré plus haut que u o v = v o u. Donc (u o v)(x) appartient à 2 s-ev qui sont comment ?

[Lucas777777]

Bonjour,

(u o v)(x)= u(v(x)) appartient à quel s-ev ?
(v o u)(x)= v(u(x)) appartient à quel s-ev ?

Tu as montré plus haut que u o v = v o u. Donc (u o v)(x) appartient à 2 s-ev qui sont comment ?

Je pense avoir compris grâce à tes explications, je me lance:

u(v(x)) appartient à Im(u) et v(u(x)) appartient à Im(v)
Donc (u o v)(x) appartient à 2 s-ev supplémentaire et donc leur intersection est nulle d'où u o v =0

Est ce bien cela ?

[Pseuda]

Oui c'est ça.

[Lucas777777]

Merci !

[zygomatique]

on peut faire moins compliqué pour montrer que u o v = v o u

u + v = I

je compose à droite par u :: u o u + v o u = u
je compose à gauche par u :: u o u + u o v = u

....

[Lucas777777]

Effectivement, c'est bien plus rapide, merci

[Lucas777777]

J'ai également trouvé, un exercice sous le même chapitre mais j'ai du mal a voir le rapport avec celui-ci:

Soient I0,I1, I2,....In des segments de R non réduits à un point et deux à deux disjoints. Montrer qu'il existe P appartenant à Rn+1[X] non nul tel que:
Quelque soit k appartenant à [0,n],

Vous auriez quelques pistes, sous la main ?

[zygomatique]

moi non plus je ne vois pas le rapport ... mis à part que ::

est un espace vectoriel ... ce me semble-t-il ...

il faudrait montrer que n'est pas {0}

...

[Pseuda]

J'ai également trouvé, un exercice sous le même chapitre mais j'ai du mal a voir le rapport avec celui-ci:

Soient I0,I1, I2,....In des segments de R non réduits à un point et deux à deux disjoints. Montrer qu'il existe P appartenant à Rn+1[X] non nul tel que:
Quelque soit k appartenant à [0,n],

Vous auriez quelques pistes, sous la main ?

Je ne vois pas non plus le rapport. Mais, pour faire vite, si on cherche P(t) de degré n+1 qui vérifie pour tout k, alors est un polynôme de degré n+2 qui prend la même valeur aux 2 bornes de l'intégrale pour tout segment .

Ceci donne un système de n+1 équations à n+2 inconnues (les coefficients du polynôme unitaire) qui fournit (en général) une infinité de solutions.

[Mimosa]

Bonjour
Voici une solution. Pour on note et la réunion des . On pose . Bien sur .

Soit un polynôme de degré . Considérons



Ceci est un polynôme de degré comme et... son intégrale sur est nulle.