Matrice semblable

[Roby]

Bonjour petite question j'ai lu sur Wikipedia qu'une matrice semblable a A est semblable a B si
P^-1 x A x P = B

Donc ça signifie qu'une matrice semblable à A est en fait la matrice A diagonalisée ?
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_semblables



Je pensais au début que P était la matrice de passage constituée de vecteurs propres mais on dirait que non...
La matrice A de l'exemple de Wikipedia d'après mes calculs n'a pas de valeurs propre car Delta < 0, donc pas de vecteurs propres donc pas de matrice de passage , du coup d'où sort le P de l'exemple ?

En ce qui me concerne :

On me demande de trouver une matrice semblable a A =

Du coup je prend un P au hasard inversible (donc de determinant != 0) ?
Puis que je fait PxAxP-1 = une matrice semblable à A ?

Si par contre P représente la matrice de Passage alors j'ai calculé le polynôme caractéristiques de A j'ai trouvé X^3−3X^2 donc 2 racines : 0 (mutliplicité 2) et 3 (multiplicité 1) ce qui donne une matrice Diagonalisé (et donc semblable a A ?)

Semblable de A = ?

Ou bien suis-je à cent lieu de la réalité ^^ ?

Merci de votre aide

[Mimosa]

Bonjour

Il y a pas mal de confusions. Si est inversible, est semblable à par définition. Ceci est vrai même si n'est pas diagonalisable, et en prenant au hasard, il y a peu de chances que soit diagonale.

Pour ton cas particulier. Le polynôme caractéristique est bien mais comme il a une racine double, il faut vérifier que l'espace propre associé à est de dimension pour affirmer que la matrice est diagonalisable, ce qui se trouve être vrai. Donc est semblable à chacune des matrices diagonales ayant 2 fois et une fois sur la diagonale.

[Roby]

Ok je te remercie donc la matrice que j'ai écrite a la fin semble bonne.

Je ne comprend alors pas l'exemple de Wikipedia.
Je ne vois pas d'où le P est pondu.

Je te remercie je suis rassuré.

Et alors on peut dire que chercher une matrice semblable revient a la diagonaliser si cela est possible ?

[Mimosa]

Je n'aime pas trop ta dernière phrase. Il y a une infinité de matrices semblables, parmi lesquelles, éventuellement, des diagonales.

[Roby]

Je vois merci beaucoup !

Et comprends tu ma question relative à l'exemple de Wikipedia ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_semblables

Je ne comprend pas d'où vient le P ? Le P a t'il été pris a vu d’œil pour obtenir B ?

A moins qu'il soit possible de trouver des vecteurs propres pour une matrice dont le delta du polynome caractéristique est < 0 ? Mais j'ignore comment .

Merci beaucoup pour tes réponse elles m'ont vraiment rendu service.

[Mimosa]

Dans wiki ils ont pris au hasard et calculé . A première vue, n'est pas diagonalisable. Ce que j'essaye de dire, c'est que si on n'a pas un but précis, chercher une matrice semblable n'a pas beaucoup sens.

[Roby]

Merci

[zygomatique]

Dans wiki ils ont pris au hasard et calculé . A première vue, n'est pas diagonalisable. Ce que j'essaye de dire, c'est que si on n'a pas un but précis, chercher une matrice semblable n'a pas beaucoup sens.

salut

il faut revenir au définition de base : une matrice est la représentation d'un endomorphisme f dans une certaine base (en général la base canonique)

notons B = (i, j, k) une base (la base canonique) et C = (u, v, w) une autre base ...

alors il existe une matrice de passage inversible P de B à C

alors si M est la matrice de f dans B alors est la matrice de f dans la base C

et évidemment M et N sont semblables

...

DEF : deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes ...