Résolution d'une équation ( Concours administratif )

[RAJOUNET1973]

Après réflexion, ma méthode de résolution de l'équation :


( 1 + t)^-4 = 0.7350298528

(1) 1 = 0.73502985028 ( 1+ t )^4
(2) 0.73502985028^-1 = (1 + t)^4
(3) 1.36048896 = ( 1 +t)^4
(4) [ racine 1.36048896 ] 1.1664= ( 1+t)^2
(5) [ racine 1.1664 ] 1.08 = (1 +t )

donc t = 1.08-1 = 0.08 soit 8 %. De manière générale, je cherche une méthode de résolution d'équation dont l'un des membres est affecté d'une puissance négative, plus rapide que la mienne.

merci

[Razes]

Sincèrement, je ne vois pas d'où tu sors 0.7350298528.

[RAJOUNET1973]

C'est juste un postulat car dans mes exos de calculs de taux, de rentabilité...etc je tombe souvent sur des équations de ce type ( avec un des membres affecté d'une puissance négative)

[Razes]

Excuse moi RAJOUNET1973 , je viens juste de voir que tu es au Lycée. Donc il te faut une méthode niveau lycée? Vous avez droit à la calculatrice?

[RAJOUNET1973]

Oui

[RAJOUNET1973]

Non en fait je suis fonctionnaire mais je souhaiterai la méthode la plus rapide et simple possible^^

[SAGE63]

QUESTION 1 - TROUVER LE TAUX DE REVIENT DE l'EMPRUNT

1 000,00 = { 80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ³ ] / t } + { 1 080,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }


UNE SOLUTION RAPIDE POUR CE TYPE d'EMPRUNT (calcul mental…)

On a :

80,00 / 1 000,00 = 0,08

Le taux de revient annuel de cet emprunt est de 0,08 pour 1 soit 8 % .

La justification de ce calcul de mathématiques financières est la suivante :

à faire

[SAGE63]

Bonjour Sage,

Et si je veux passer de 0.7350298528 = ( 1 + t)^-4 à 1.08 = ( 1+t), comment dois je procéder ?

merci

RESOLUTION DE :

( 1+t) ˉ¹¹ = 0,428882859


REPONSE : Effectuer les calculs en deux étapes :

a) premier calcul

( 1+t) ¹¹ = 1 / 0,428882859 = 2,331638997

b) deuxième calcul

calculer la "racine 1/11" de 2,331638997 = 1,0800000

[SAGE63]

QUESTION 1 - TROUVER LE TAUX DE REVIENT DE l'EMPRUNT

1 000,00 = { 80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ³ ] / t } + { 1 080,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }


I - ANALYSE DE L'EQUATION


A) Il s'agit d'une équation de mathématiques financières concernant la THEORIE DES EMPRUNTS.

B) Cette équation contient plusieurs fois l'élèment de calcul suivant : (1+t) : la méthode de calcul des
INTERETS est la méthode dite des INTERETS COMPOSES.


C) Analyse détaillée de la partie à droite du signe égal de cette équation


1) on constate que les expressions (1+t) sont élevées à des puissances négatives de (-3) et (-4) :
cela signifie que l'on calcule des VALEURS ACTUELLES.

Or, dans la théorie des emprunts, le total des valeurs actuelles constitue le montant du CAPITAL EMPRUNTE,
soit dans cette équation 1 000.

2) Les puissances négatives de (-3) et (-4) nous indiquent la durée de l'emprunt.
Cette durée est soit de 3 ans soit de 4 ans.

Dans un emprunt il ne peut y avoir qu'une seule durée : il faut prendre la plus élévée à savoir 4 ans.

Cette durée, avec sa justification, sera confirmée au point D - 1) ci-dessous.


3) La partie de droite de l'équation est la suivante :

{ 80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ³ ] / t } + { 1 080,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }

Cette partie de l'équation contient deux termes


a) Analyse du premier terme :

80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ³ ] / t

Dans la théorie des emprunts cette expression est connue sous le terme de
VALEUR ACTUELLE (ou VALEUR A l'ORIGINE) D'UNE SUITE D'ANNUITES CONSTANTES

L'annuité constante est de 80.
Le nombre annnuités est de 3.
Nous avons la suite d'annuités suivante :

[ 80 (1+t) ] + [ 80 (1+t)² ] + [ 80 (1+t) ³]


b) Analyse du deuxième terme :

1 080,00 ( 1+t) ˉ⁴

Dans la théorie des emprunts cette expression est connue sous le terme de
VALEUR ACTUELLE.

On constate que ce terme peut s'écrire aussi :

[ 80 ( 1+t) ˉ⁴ ] + [ 1 000,00 ( 1+t) ˉ⁴ ]


c) Et en définitive la partie de droite de l'équation peut s'écrire :

[ 80 (1+t) ] + [ 80 (1+t)² ] + [ 80 (1+t) ³] + [ 80 (1+t) ⁴] + [ 1 000 (1+t) ⁴]


D) L'équation s'écrit alors


1 000 = [ 80 (1+t) ] + [ 80 (1+t)² ] + [ 80 (1+t) ³] + [ 80 (1+t) ⁴] + [ 1 000 (1+t) ⁴]

Il est "facile" de reconnaître la formule d'un remboursement d'un emprunt qui répond aux
caractériques suivantes :


1) le capital de 1 000 est remboursé à la même somme au bout de 4 ans.


2) cela signifie que les INTERETS sont payés annuellements et s'élèvent à la somme de 80.

3) nous sommes en présence d'un emprunt remboursable en une seule fois à l'échéance et avec
paiement annuel des intérêts.



II - LA SOLUTION


On a :

Le montant de l'emprunt est de 1 000,00
Le montant des intérêts annuels est de 80,00
Le taux de revient annuel de cet emprunt est de :

80,00 / 1 000,00 = 0,08

Le taux de revient annuel de cet emprunt est de 0,08 pour 1 soit 8 % .