Matrice carre

[youssefbls]

exemple de matrice de 2x2 qui verifie : M^2+M+1=0

[youssefbls]

exemple de matrice de 2x2 qui verifie : M^2+M+1=0

[aymanemaysae]

Bonjour,

si on pose on a ,

donc ,

donc il suffit que ,

donc .

C'est un exemple parmi d'autres.

[samoufar]

Bonjour,

Autre façon pour trouver un exemple (en tout cas si les matrices peuvent être complexes, ce qui est a priori vrai vu comment l'énoncé est posé), considérer une matrice 2x2 dont le polynôme caractéristique est (la matrice diag(a,b) où a et b sont les racines de P convient, par exemple).

[aymanemaysae]

Bonjour;

un autre exemple plus beau à voir que le premier: .

[zygomatique]

salut

je ne sais pas si ça simplifie ...

si alors M n'est pas l'identité et en multipliant par M - I alors

...

[aymanemaysae]

Bonjour,

On avait posé donc ,

donc ,

Pour que il faut avoir sinon et seront des nombres complexes,

donc on a ,

et sont les solutions de l'équation dans .

Si est le discriminant de l'équation, on doit avoir donc on doit avoir .

Donc pour on a et ,

donc

donc on a ou avec .

[samoufar]

Bonjour,

donc on a ,

et sont les solutions de l'équation dans .

Cette équation n'admet pas de solutions dans (son discriminant vaut -3)

[aymanemaysae]

Bonjour,

Vous avez raison : faute d'inattention , c'est (j'ai rectifié l'erreur) .

Merci.

[chan79]

exemple de matrice de 2x2 qui verifie : M^2+M+1=0

salut
(M+I/2)²+3/4*I=0
On pose N=M+I/2



cela donne les 4 égalités:
a²+bc=-3/4
b(a+d)=0
c(a+d)=0
a²=d²

exemple1
avec a=0, d=0, b=1 et c=-3/4

N=

soit

M=

exemple2
avec a=-1/2, b=1, c=-1 et d=1/2

N=
soit
M=

exemple3
N=
soit
M=

exemple4

N=
soit
M=

exemple5
M=

Si on se donne un couple (b,c) on peut expliciter les solutions.

[Kolis]

Bonjour !
Un autre point de vue !
Par théorème de Caylay-Hamilton, pour une matrice on a .
La relation proposée est donc équivalente à ce qui implique :
ou bien (racines cubiques non réelles de 1)
ou bien

[chan79]

Bonjour !
Un autre point de vue !
Par théorème de Caylay-Hamilton, pour une matrice on a .
La relation proposée est donc équivalente à ce qui implique :
ou bien (racines cubiques non réelles de 1)
ou bien

salut
je complète
Parmi les solutions, 4 sont diagonales:




Les deux premières sont bien données par Kolis (premier cas)
Les deux autres ont bien une trace égale à -1 et un déterminant égal à 1

[aymanemaysae]

Bonjour,

Si on a , et comme on avait posé

on avait obtenu ,

donc avec et .

Si posons et ,

on a selon les cas suivants :

et
et et
et
et et
et et et
et et et
et et et
et et et
et et
et et

Je crois que je n'ai rien oublié.

[Pseuda]

salut

je ne sais pas si ça simplifie ...

si alors M n'est pas l'identité et en multipliant par M - I alors

...

Bonsoir,

Puisque , un exemple (puisque c'est le problème posé) serait la matrice de la rotation d'angle :
(fait partie du 2ème cas de Kolis)

[aymanemaysae]

Bonsoir,

Merci M.Pseuda pour votre exemple, il m'a permis de rectifier mes deux messages qui relatent la solution

générale dans et dans : j'avais oublier d'écrire le en facteur de dans et .