Résolution d'une équation ( Concours administratif )

[RAJOUNET1973]

Bonjour,

Je prépare des concours administratifs et sèche sur la résolution de l'équation suivante :

1) Calculer le taux de revient ( t) de l'emprunt sachant que :

1000 = 80 [ 1- ( 1 + t )^-3 / t ] + 1080 ( 1 + t )^-4.

Le corrigé donne un taux de 8 % mais sans expliquer les calculs.

ps : ^-3 : puissance négative -3
^ -4 : puissance négative - 4

2) Dans le même genre, résoudre l'équation ( 1 + t)^4 = 81

Merci pour votre aide

[anthony_unac]

2) Dans le même genre, résoudre l'équation ( 1 + t)^4 = 81
Merci pour votre aide

Bonsoir,

De manière générale, lorsqu'une équation est d'un degré trop élevé et qu'on vous demande de résoudre, c'est que l'auteur de l'exercice à eu la gentillesse de glisser au moins une racine évidente la-dedans
Ici en l'occurrence en prenant , on devrait être pas mal.

[RAJOUNET1973]

Merci pour votre réponse anthony,

Mais quel est le raisonnement mathématique permettant de parvenir au résultat ( que j'avais également trouvé mais de manière empirique) ?

[Pisigma]

Bonsoir,


de la forme

[anthony_unac]

1000 = 80 [ 1- ( 1 + t )^-3 / t ] + 1080 ( 1 + t )^-4.
Le corrigé donne un taux de 8 % mais sans expliquer les calculs.

J'ai un doute concernant cette équation est ce réellement ceci qui figure dans l'énoncé ?
Pouvez vous mettre (en abusant si nécessaire) toutes les parenthèses

[anthony_unac]

Mais quel est le raisonnement mathématique permettant de parvenir au résultat?

Le raisonnement de Pisigma est une façon de voir les choses et c'est mathématiquement correct. On peut rajouter que toutes les expressions de la forme : sont factorisables par
Ici en l'occurence : ou est un polynôme
Vous pouvez alors conclure en disant qu'un produit de facteur est nul ssi ...

[SAGE63]

Bonjour

QUESTION 1

L'énonce possible de ce problème est le suivant :

Le 1er juillet 2015 une personne achète à la bourse de Paris une obligation d'un nominal de 1 000,00 euros,
remboursable en totalité le 1er juillet 2019.
Le taux facial d'intérêt est de 8,00 % l'an, intérêts qui seront payés, chaque année, le jour anniversaire de l'acquisition.

On demande de calculer le taux de rendement de cette obligation.

Un "autre" énoncé est possible concernant un emprunt cette fois.
Je vous laisse le soin de le découvrir………………….

QUESTION 2

Les solutions proposées sont toutes satifaisantes.

UNE SOLUTION RAPIDE QUAND LA PUISSANCE est 2, 4, 8 , 16……

On a :

(1 + t ) ⁴ = 81,00
(1 + t ) ² = 9,00
(1 + t ) = 3,00
t = 3,00 -1,00
t = 2,00

et le calcul se fait de "tête" sans machine bien sur…….

[Pisigma]

bonjour @sage: ok mais la solution t=-4,qui convient aussi, n'apparaît pas

[SAGE63]

EXACT….. Et complément

J'ai l'habitude de résoudre des problèmes financiers et, dans ce genre de problème …….financier……les taux….(t) sont toujours positifs…..d'où ma distration de départ…

ICI, il ne s'agit pas de problème financier……..

soit :

(1+ t) ⁴= 81
(1+ t) ²= + 9 ou -9
(1+ t) = + 3 ou - 3
Première solution
(1+ t) = 3
t = 3 -1
t = 2

Deuxieme solution

(1+ t) = -3
t = -3 -1
t = -4

[SAGE63]

QUESTION 1

L'équation est la suivante :

1000 = { 80 [ 1 - (1 + t ) ˉ³ ] / t } + { 1080 (1 + t) ˉ⁴ }

Vous préparez un concours administratif.

Le JOURNAL OFFICIEL de la REPUBLIQUE FRANCAISE (journal…très serieux)
dans son édition du 11 juin 2002 page 10359 publie le décret n° 2002-928 du 10 juin 2002 qui précise :

"""L'EQUATION PERMET DE CALCULER "t" par APPROXIMATIONS SUCCESSIVES, QUI PEUVENT ETRE PROGRAMMEES SUR UNE CALCULATRICE DE POCHE"""

Le décret 2002-928 a été signé Monsieur le PREMIER MINISTRE (de l'époque) Jean-Pierre RAFFARIN.

Pour résoudre ce problème UNE SEULE METHODE donnée par une personne serieuse dans un journal sérieux……..

[Pisigma]

OK, mais c'est du a²-b² déguisé sauf qu'on ne doit pas "rejeter" les valeurs complexes.

[SAGE63]

Bonjour

Pour RAJOUNET1973

a) pouvez vous donner l'intégralité de la question 1 concernant l'emprunt

b) quel est le titre du concours administratif qui pose la question 1 concernant l'emprunt

c) quel est le niveau d'études pour passer ce concours : BAC, licence, maitrise, master, doctorat ?

d) Il s'agit de mathématiques financières : connaissez vous la différence entre les emprunts suivants :

1) remboursement d'un emprunt par annuités constantes

2) remboursement d'un emprunt par amortissements constants

3) remboursement intégral en une seule fois capital et intérêts à la fin de l'emprunt

4) remboursement annuel des intérêts et à la fin de l'emprunt remboursement du montant emprunté

e) pour la question 1 quel est ce "type" d'emprunt

[Black Jack]

Bonjour,

Je prépare des concours administratifs et sèche sur la résolution de l'équation suivante :

1) Calculer le taux de revient ( t) de l'emprunt sachant que :

1000 = 80 [ 1- ( 1 + t )^-3 / t ] + 1080 ( 1 + t )^-4.

Le corrigé donne un taux de 8 % mais sans expliquer les calculs.

ps : ^-3 : puissance négative -3
^ -4 : puissance négative - 4

Il suffit de remplacer t par 0,08 dans l'équation donnée ... pour vérifier que c'est faux.

Juste pour le fun :

1000 = 80 [ 1- ( 1 + t )^-3 / t ] + 1080 ( 1 + t )^-4.

1000 = 80 [ 1 - 1/(t.(1+t)³) ] + 1080/( 1 + t )^4

On multiplie les 2 membres de l'équation par [t.(1+t)^4]

1000.t.( 1 + t)^4 = 80 [t.(1+t)^4 - (1+t) ] + 1080.t

1000.t.( 1 + t)^4 = 80.t.(1+t)^4 - 80 - 80t + 1080.t

1000.t.( 1 + t)^4 - 80.t.(1+t)^4 = - 80 + 1000.t

920.t.( 1 + t)^4 = - 80 + 1000.t

Poser (1+t) = X
t = X - 1

920.(X-1) * X^4 = -80 + 1000 * (X-1)
920 X^5 - 920 X^4 - 1000 X + 1080 = 0

Equation dont la seule solution réelle est X = -1,03097396062...

--> t = - 2,03097396062...

[SAGE63]

QUESTION 1 - FORMULE EMPRUNT

1 000,00 = { 80 * [ 1 - ( 1+t) ˉ³ ] / t } + { 1 080,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }

VERIFICATION :
avec :
t = 0,08 pour 1 par an

on a les résultats intermédiaires suivants
(1+t) = 1,08
( 1+t) ˉ³ = 0,793832241
( 1+t) ˉ⁴ = 0,735029853


l'équation devient :
1 000,00 = { 80 * [ 1 - 0,793832241 ] / 0,08 } + { 1080 * 0,735029853 }
1 000,00 = { 80 * 0,206167759 / 0,08 } + { 793,832241 }
1 000,00 = { 16,49342072 / 0,08 } + { 793,832241 }
1 000,00 = { 206,167759 } + { 793,832241 }
1 000,00 = 1 000,000000

Conclusion : l'équation est vérifiée avec un taux de 0,08 pour 1 par an soit 8,00 % par an.

NB : l'équation est aussi vérifiable avec un taux d'intérêt "NEGATIF" : à calculer et à contrôler avec la réalité financière bancaire : de nos jours les banquiers (gentils) accordent des prêts à taux négatifs.....mais pas encore à ce niveau.........dommage....................

[SAGE63]

QUESTION 1 - FORMULE EMPRUNT - RESOLUTION AVEC UN TAUX D'INTERET NEGATIF

1 000,00 = { 80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ³ ] / t } + { 1 080,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }

VERIFICATION :
avec :
t = -2 pour 1 par an soit un taux d'intérêt de -200,00 % par an (!!!!!!!)

on a les résultats intermédiaires suivants
(1+t) = -1
( 1+t) ˉ³ = -1
( 1+t) ˉ⁴ = 1


l'équation devient :
1 000,00 = { 80 * [ 1 - (-1) ] / -2 } + { 1080 * 1 }
1 000,00 = { 80 * 2 / -2 } + { 1080 }
1 000,00 = { 160 / -2 } + { 1080 }
1 000,00 = { -80 } + { 1080 }
1 000,00 = 1 000,000000

Conclusion : l'équation est vérifiée avec un taux de -2 pour 1 par an soit -200,00 % par an (très très très gentil banquier).

MAIS………………….que ce passe-t-il dans la pure réalité financière……..

Capital emprunté : 1 000,00

PREMIERE ANNEE :

Montant des intérêts DU "PAR le BANQUIER" :

1 000,00 * 200 % = 2 000,00 (!!!!!!)


DEUXIEME ANNEE :

Montant des intérêts DU "PAR le BANQUIER" :

1 000,00 * 200 % = 2 000,00 (!!!!!!)


TROISIEME ANNEE :

Montant des intérêts DU "PAR le BANQUIER" :

1 000,00 * 200 % = 2 000,00 (!!!!!!)

QUATRIEME ET DERNIERE ANNEE :

a) Montant des intérêts DU "PAR le BANQUIER" :

1 000,00 * 200 % = 2 000,00 (!!!!!!)

b) montant du capital d'origine REMBOURSE au banquier : 1 000,00

c) en conclusion le banquier débourse :

2 000,00 -1 000,00 = 1 000,00 (!!!!!!)

On constate que les calculs effectués ne correspondent pas aux données de
l'énoncé et donc que la solution :
"" l'équation n'est pas vérifiée avec un taux de -2 pour 1 par an soit -200,00 % par an
car elle ne correspond pas à la réalité économique et financière pratiquée dans le secteur bancaire"".

Dommage.......

[RAJOUNET1973]

Merci à tous pour vos aides successives.

En fait, je suis fonctionnaire au Fisc et prépare une 'épreuve de comptabilité générale et d'analyse financière ( niveau quasi équivalent au DCG)

@ anthony : l'équation avec toutes les parenthèses est la suivante ;
le coût de l'emprunt est donné par la relation suivante > 1000 = 80 ( (1- ( 1 + t )^-3) / t )) + 1080(1+t)^-4

solution : t= 0.08 soit 8 %

ps : j'ai remplacé t par 0.08 et j'obtiens bien 1000

2) autre équation : soit x, le taux de rentabilité interne cherché, x est donné par l'équation d'équivalence :

100 = 30(1+x)^-1 + 40(1+x)^-2 + 50 (1+x)^-3 + 20 ( 1+ x)^-4

solution : x = 15.32 % ???? Le corrigé ( sans explications explicites ) dit que les machines à calculer peuvent directement trouver x. Quelle est la fonction qui permet ce calcul direct ?

merci

[SAGE63]

QUESTION 2 - CALCUL DU TRI de 15.32 %


Pour trouver le résultat de 15.32 % se rapporter à la référence du JOURNAL OFFICIEL DE LA REPUBLIQUE FRANCAISE (voir plus haut).

Vous trouverez une "dizaines" de calculs aussi compliques les uns que les autres.....qui ont été copiés sur les exemples donnés par l'UNION EUROPEENNE (et la solution aussi.....)

Pour "trouver" 15.32 %

a) programmer sur ordinateur ou sur une calculatrice (perfectionnée) le programme par itération

b) ou bien (comme je fais ) par calcul successifs (il faut avoir de courage...et la volonté ......ET SURTOUT LE TEMPS POUR LE FAIRE..... et un jour d'examen dur dur)

*on essai 20 % : trop fort
* on essaie 15 % : trop faible
* puis 15 %
* puis 16 %
- puis 15.50 %
etc etc etc


QUESTION SUR L'EMPRUNT : on pouvait avoir (aussi) la formule suivante :

1 000,00 = { 80 * [ 1 - ( (1+t) ˉ⁴ ] / t } + { 1 000,00 * ( 1+t) ˉ⁴ }

VERIFICATION :
avec :
t = 0,08 pour 1 par an soit un taux d'intérêt de 8,00 % par an

on a les résultats intermédiaires suivants
(1+t) = 1,08
( 1+t) ˉ⁴ = 0,735029853

l'équation devient :

1 000,00 = { 80 * [ 1 - 0,735029853 ] / 0,08 } + { 1000 * 0,735029853 }
1 000,00 = { 80 * 0,264970147 / 0,08 } + { 735,0298528 }
1 000,00 = { 21,19761178 / 0,08 } + { 735,0298528 }
1 000,00 = { 264,9701472 } + { 735,0298528 }
1 000,00 = 1 000,000000

Bonne lecture

[RAJOUNET1973]

Bonjour Sage,

Et si je veux passer de 0.7350298528 = ( 1 + t)^-4 à 1.08 = ( 1+t), comment dois je procéder ?

merci

[Razes]

Nous avons après simplification:


On pose , l'équation devient donc:
Cette équation est difficile à résoudre sans une étude préalable de la fonction

On va chercher une solution entre X=0 et X=2 qui correspondent à un taux t entre 0% et 100%. Pour ce faire nous sommes obligé d'utiliser la dichotomie. (une simple feuille EXCEL fait l'affaire ou une calculatrice programmable) Je fais l'impasse sur la dichotomie car la méthode se trouve partout.
http://microsoft.public.fr.excel.narkive.com/ExZTntcH/comment-puis-je-resoudre-par-dichotomie-une-equation-sur-excelCliquez sur l'image pour la visualiser entièrement.

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Sous geogebra, on peut retrouver les racines de f(x)

[Razes]

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