Intégrale qui resiste

[BenoîtL-21]

Bonjour à tous,
Parmi des exercices pas difficiles d'intégrales niveau sup, je suis tombé sur celle-ci : , et je bloque. J'ai pensé au changement de variables x=cos(2t), mais , et après ? La quantité conjuguée ?? Bref je suis coincé.
Merci d'avance.
Benoît.

[Kolis]

Bonjour !
Tu as une méthode pour les fractions rationnelles de fonctions trigonométriques : les règles de Bioche.
Dans ton cas changement de variables ().

Mais tu aurais pu aussi multiplier par l'expression conjuguée ce qui te mène au calcul des intégrales de et

[Black Jack]

1/(V(1+x)+V(1-x)) = (V(1+x)+V(1-x))/((1+x)-(1-x)) = (1/2).V(1+x)/x + (1/2).V(1-x)/x

S V(1+x)/x dx
Poser 1+x = t² ...

S V(1-x)/x dx
Poser 1-x = t² ...

[Robot]

Black Jack, tu as fait une erreur de signe en appliquant les conseils de Kolis.

[Razes]

Bonjour à tous,
Parmi des exercices pas difficiles d'intégrales niveau sup, je suis tombé sur celle-ci : , et je bloque. J'ai pensé au changement de variables x=cos(2t), mais , et après ? La quantité conjuguée ?? Bref je suis coincé.
Merci d'avance.
Benoît.

Tu peux continuer sur ce que tu as fait, en opérant un deuxième changement de variable:
, poser ; l'expression devient




à déterminer

[BenoîtL-21]

Merci à tous pour votre aide, je vais pouvoir finir avec vos idées.
Benoît

[aymanemaysae]

Bonsoir,

comme la discussion est close, je vais reprendre l'indication de M.Kolis :

On a ,

dans la suite de l'exercice, je vais utiliser les deux identités remarquables suivantes :

et .

On a

: en utilisant la première identité ,

= ,

de même on trouve : en utilisant la deuxième identité ,

donc = ,

donc

car .

[aymanemaysae]

Bonjour,

voici une autre méthode pour résoudre cet exercice.

On a ,

donc

: avec



: avec





.

Edit : En essayant d'utiliser un astuce inventé par M.Ben314 , j'ai posé ,

ce qui donne et finalement : je ne sais pas si ça mène vers un bon port.

[Black Jack]

Robot,

Je n'ai suivi les conseils de personne ...
Cela ne signifie pas que mes réponses ne vont pas dans le sens indiqué par l'un ou l'autre ...

Néanmoins :

1/(V(1+x)+V(1-x)) = (V(1+x)-V(1-x))/((1+x)-(1-x)) = (1/2).V(1+x)/x - (1/2).V(1-x)/x

[BenoîtL-21]

Puisque c'est moi qui ai lancé le sujet, voici comment je m'y suis pris finalement :

(1) Multiplication par la quantité conjuguée :

(2) Si on coupe en 2, les deux intégrales divergent en 0. L'astuce est de faire -1/x+1/x avant de couper en deux, soit : .

(3) Ensuite, changement de variable dans la première et dans la seconde.

(4) On obtient finalement

[aymanemaysae]

Bonjour,

Très ingénieuse astuce, Bravo !

Une petite rectification :

.

[BenoîtL-21]

Bonsoir,
Oui vous avez raison.
En fait j'intégrais soit car la fonction est paire. C'est pourquoi le 2.
Cordialement à tous.