Intégrale qui resiste
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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BenoîtL-21
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par BenoîtL-21 » 11 Aoû 2016, 07:50
Bonjour à tous,
Parmi des exercices pas difficiles d'intégrales niveau sup, je suis tombé sur celle-ci :
, et je bloque. J'ai pensé au changement de variables x=cos(2t), mais
, et après ? La quantité conjuguée ?? Bref je suis coincé.
Merci d'avance.
Benoît.
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Kolis
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par Kolis » 11 Aoû 2016, 09:06
Bonjour !
Tu as une méthode pour les fractions rationnelles de fonctions trigonométriques : les règles de Bioche.
Dans ton cas changement de variables (
).
Mais tu aurais pu aussi multiplier par l'expression conjuguée ce qui te mène au calcul des intégrales de
et
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Black Jack
par Black Jack » 12 Aoû 2016, 12:56
1/(V(1+x)+V(1-x)) = (V(1+x)+V(1-x))/((1+x)-(1-x)) = (1/2).V(1+x)/x + (1/2).V(1-x)/x
S V(1+x)/x dx
Poser 1+x = t² ...
S V(1-x)/x dx
Poser 1-x = t² ...
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Robot
par Robot » 12 Aoû 2016, 15:29
Black Jack, tu as fait une erreur de signe en appliquant les conseils de Kolis.
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Razes
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par Razes » 12 Aoû 2016, 15:50
BenoîtL-21 a écrit:Bonjour à tous,
Parmi des exercices pas difficiles d'intégrales niveau sup, je suis tombé sur celle-ci :
, et je bloque. J'ai pensé au changement de variables x=cos(2t), mais
, et après ? La quantité conjuguée ?? Bref je suis coincé.
Merci d'avance.
Benoît.
Tu peux continuer sur ce que tu as fait, en opérant un deuxième changement de variable:
, poser
; l'expression devient
à déterminer
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BenoîtL-21
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par BenoîtL-21 » 12 Aoû 2016, 16:00
Merci à tous pour votre aide, je vais pouvoir finir avec vos idées.
Benoît
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aymanemaysae
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par aymanemaysae » 13 Aoû 2016, 01:03
Bonsoir,
comme la discussion est close, je vais reprendre l'indication de M.Kolis :
On a
,
dans la suite de l'exercice, je vais utiliser les deux identités remarquables suivantes :
et
.
On a
: en utilisant la première identité ,
=
,
de même on trouve
: en utilisant la deuxième identité ,
donc
=
,
donc
car
.
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aymanemaysae
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par aymanemaysae » 14 Aoû 2016, 13:57
Bonjour,
voici une autre méthode pour résoudre cet exercice.
On a
,
donc
: avec
: avec
.
Edit : En essayant d'utiliser un astuce inventé par M.Ben314 , j'ai posé
,
ce qui donne
et finalement
: je ne sais pas si ça mène vers un bon port.
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Black Jack
par Black Jack » 18 Aoû 2016, 08:21
Robot,
Je n'ai suivi les conseils de personne ...
Cela ne signifie pas que mes réponses ne vont pas dans le sens indiqué par l'un ou l'autre ...
Néanmoins :
1/(V(1+x)+V(1-x)) = (V(1+x)-V(1-x))/((1+x)-(1-x)) = (1/2).V(1+x)/x - (1/2).V(1-x)/x
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BenoîtL-21
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par BenoîtL-21 » 18 Aoû 2016, 09:12
Puisque c'est moi qui ai lancé le sujet, voici comment je m'y suis pris finalement :
(1) Multiplication par la quantité conjuguée :
(2) Si on coupe en 2, les deux intégrales divergent en 0. L'astuce est de faire -1/x+1/x avant de couper en deux, soit :
.
(3) Ensuite, changement de variable
dans la première et
dans la seconde.
(4) On obtient finalement
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aymanemaysae
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par aymanemaysae » 18 Aoû 2016, 09:56
Bonjour,
Très ingénieuse astuce, Bravo !
Une petite rectification :
.
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BenoîtL-21
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par BenoîtL-21 » 18 Aoû 2016, 22:12
Bonsoir,
Oui vous avez raison.
En fait j'intégrais
soit
car la fonction est paire. C'est pourquoi le 2.
Cordialement à tous.
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