Limite

[t.itou29]

Bonjour,
Je cherche à calculer la limite de:

Et je ne vois pas par où commencer, le terme de droite fait penser à une transformée de toeplitz mais comme la série harmonique diverge...

[Robot]

Tu ne nous a pas présenté . On peut deviner, mais je n'aime pas jouer aux devinettes.

[samoufar]

Bonjour,

Vu qu'il est question de série harmonique, il y a fort à parier que .

[t.itou29]

Tu ne nous a pas présenté . On peut deviner, mais je n'aime pas jouer aux devinettes.

Désolé, c'est bien la série harmonique

[aymanemaysae]

Bonjour;

Bonjour,
Je cherche à calculer la limite de:

Et je ne vois pas par où commencer, le terme de droite fait penser à une transformée de toeplitz mais comme la série harmonique diverge...

Faute de donner une limite sous forme algébrique, je contourne le problème et je calcule la valeur de l'expression donnée pour , et , et je trouve que pour ces trois valeurs l'expression vaut , donc la limite cherchée n'est pas bien loin de cette valeur.

Je conjecture que la limite cherchée est : .

J'attendrai une indication pour initier une résolution digne de ce nom, sinon je mettrai cet exercice derrière un grand point d'interrogation.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Ce n'est plus une conjecture, je viens de trouver un document qui contient la solution.

J'efface donc le Grand Point d'interrogation .

[t.itou29]

Merci ! Tu peux me donner une piste si c'est accessible ? (niveau maths sup)

[Matt_01]

En fait si tu notes S_n la somme (sans le facteur en 2^n) avec les coefficients binomiaux, en utilisant la formule de Pascal, des changements d'indice et en réécrivant correctement (i parmi (n-1)) divisé par (i+1), alors tu peux montrer que S_n=2S_{n-1} +(2^n-1)/n
Dés lors, on montre que la limite qu'on cherche, c'est en fait la somme des 1/(n2^n), qui se calcule très bien avec la bonne série entière évaluée en 1/2.

[aymanemaysae]

Bonjour,

En fait si tu notes S_n la somme (sans le facteur en 2^n) avec les coefficients binomiaux, en utilisant la formule de Pascal, des changements d'indice et en réécrivant correctement (i parmi (n-1)) divisé par (i+1), alors tu peux montrer que S_n=2S_{n-1} +(2^n-1)/n
Dés lors, on montre que la limite qu'on cherche, c'est en fait la somme des 1/(n2^n), qui se calcule très bien avec la bonne série entière évaluée en 1/2.

La méthode que je propose est similaire à celle de M.Matt_01 . Elle repose sur le résultat suivant :

Soient et deux suites d'éléments de telles que

, donc



:

:

.

Ce résultat étant acquis, on aborde tranquillement la problème.

Soient et deux suites d'éléments de telles que :

, et avec et : , donc

: : le résultat est fonction de .

On a aussi : le résultat est contenu dans l'expression donnée par M. Matt_01 ,

donc : ,

donc .

A partir de là, commence le vrai travail, et une subtile remarque permettra de conclure.

Bon courage.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Comme il n' y a pas d'écho à mon dernier message, alors je le complète pour finir.

La méthode que je propose est similaire à celle de M.Matt_01 . Elle repose sur le résultat suivant :

Soient et deux suites d'éléments de telles que

, donc



:

:

.

Ce résultat étant acquis, on aborde tranquillement la problème.

Soient et deux suites d'éléments de telles que :

, et avec et : , donc

:



On a aussi

,

donc : ,

donc ,

donc

.

Et comme : ,

donc , ,

donc , ,

donc la suite telle que est une suite constante , donc ,

donc : ,

donc .

La série de MacLaurin pour donne , donc au point on a ,

donc ,

donc ,

donc .

Je suis très content de l'avoir achevé .