Bon en fait je pense y arriver pour la première partie.
On regarde en fait pour k fixé, quel est le max de
sur
tq que
que l'on note
.
Comme
, il est nécessaire de prendre
pour atteindre le max.
Ensuite il convient de maximiser la norme de
, qui est égale à la norme de
.
Pour maximiser cela, il est nécessaire de prendre
ou 1, et donc la norme de
sera soit égale à la norme de
(
) soit à la norme de
(
).
Et donc
.
Comme
,
,
, on en conclut que
.
En considérant alors la norme 1 de
où
est vecteur propre de
, on montre que toute valeur propre de
est de norme inférieure à 2. On a donc ce qu'on voulait montrer.
Maintenant lorsque
converge, on a que
tend vers 0 et donc
tend vers 1.
Quand on écrit
sous forme d'intégrale, on remarque que si
,
ne peut pas s'approcher autant qu'on veut de 1 (c'est basé sur le fait que exp(-x^2) est strictement inférieure à 1 sauf en 0).
Donc
tend vers 0 et donc
tend vers 0 (en regardant l'expression de
).