Barycentre
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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nxthunder
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par nxthunder » 07 Oct 2006, 12:33
Bonjour a tous voila j'ai petit problème. En fait je ne suis pas sur d'une réponse :
Il faut montrer qu'un point M appartient au segment [
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?G_{-1} ; G_1)
] si et ssi x
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\in [ \frac{-1}{2} ; \frac{1}{2} ])
tel que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = x\vec{G_{-1}G_1})
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?AM \le \frac{1}{2}G_{-1}G_1)
Sachant que :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?G_k)
bar
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?{ ( A, k^2+1) ; ( B, k) ;( C, -k) })
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k \in [ -1 : 1 ])
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AG_{-1}} = \frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AG_{k}} = \frac{-k}{k^2+1}\vec{BC})
Voici ce que j'en ai déduis :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = \vec{AG_{-1}}+ \vec{G_{-1}M})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1}+ \vec{G_{-1}M})
Or dire que M
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\in)
à [
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?G_{-1} ; G_1)
] a dire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{G_{-1}M} = k\vec{G_{-1}G_1})
Ainsi :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = ( \frac{1}{2} + k )\vec{G_{-1}G_1})
Donc on peut dire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x = \frac{1}{2} + k)
Ainsi on peut écrire que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = ( \frac{1}{2} + k )\vec{G_{-1}G_1})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?||\vec{AM}|| = |( \frac{1}{2} + k )|\times ||\vec{G_{-1}G_1}||)
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?AM = |( \frac{1}{2} + k )|G_{-1}G_1)
Donc :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?|( \frac{1}{2} + k )|)
=
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?( \frac{1}{2} + k ))
si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k\ge \frac{-1}{2})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?|( \frac{1}{2} + k )|)
=
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?( -\frac{1}{2} - k ))
si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k\le \frac{-1}{2})
Mais le problème cest que je sais pas comment aboutir a cette inégalité :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?AM \le \frac{1}{2}G_{-1}G_1)
????
Merci de votre aide
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Flodelarab
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par Flodelarab » 07 Oct 2006, 13:08
ça c faux.
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{G_{-1}A} = \frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1})
Concrétement A est au milieu de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[G_{-1}G])
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = x\vec{G_{-1}G_1})
est facile a prouver car cela exprime juste le fait que M est alignés avec les 3 autres points qui sont déjà alignés. Evident puisque M appartient au segment.
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?AM \le \frac{1}{2}G_{-1}G_1)
Comme A est le milieu du segment, prendre une longueur AM supérieur reviendrait a faire sortir M du segment ...
Reste a faire la preuve dans l'autre sens.
ok?
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Zebulon
- Membre Complexe
- Messages: 2413
- Enregistré le: 01 Sep 2005, 11:06
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par Zebulon » 07 Oct 2006, 13:08
Bonjour,
il y a un truc louche là-dedans :
soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?M=G_1)
. Alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM}=\vec{AG_{-1}}+\vec{G_{-1}G_1}={3\over2}\vec{G_{-1}G_1})
.
Donc soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\in\mathbb{R})
, si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM}\neq{x}\vec{G_{-1}G_1})
, alors
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x={3\over2})
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\not\in[-{1\over2},{1\over2}])
.
Autrement dit, j'ai trouvé un M appartenant au segment
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?[G_{-1}G_1])
tel que quel que soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x\in[-{1\over2},{1\over2}])
,
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM}\neq{x}\vec{G_{-1}G_1})
.
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nxthunder
- Membre Relatif
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- Enregistré le: 30 Juin 2005, 10:16
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par nxthunder » 07 Oct 2006, 13:33
Ah oui je me suis totalement planté...
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{G_{-1}A} = \frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1})
Pour prouver que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = x\vec{G_{-1}G_1})
Il faut écrire ceci :
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = \vec{AG_{-1}} + \vec{G_{-1}M})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = -\frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1}+ \vec{G_{-1}M})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = -\frac{1}{2}\vec{G_{-1}G_1}+ \alpha \vec{G_{-1}G_1})
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM} = (-\frac{1}{2}+ \alpha) \vec{G_{-1}G_1})
Donc le réel x =
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(-\frac{1}{2}+ \alpha))
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?0\le \alpha \le 1)
Donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{AM})
est colinéraire à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\vec{G_{-1}G_1})
à M
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\in [G_{-1};G_1 ])
Est ce cela ?
Dsl mais j'ai un peu de mal ces derniers temps :briques:
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