[discussion] paradoxe des deux enveloppes

[stocke]

Voici une petite histoire que j'ai lu l'autre jour, un peu perturbante à première vue :

[début]
Vous participez à un jeu télévisé, et vous avez obtenu des bonnes réponses aux questions posées. Il est maintenant temps de recevoir votre récompense.
L'animateur arrive devant vous, et vous présente sur une table deux enveloppes fermées et rigoureusement identiques. Il vous donne alors les deux informations suivantes :
1) chaque enveloppe contient une somme d'argent (inconnue).
2) une des enveloppes contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Et là, il vous demande de choisir une des deux enveloppes, de l'ouvrir, et de conserver l'argent qui s'y trouve.
Comme rien ne permet de les différencier, vous en choisissez une au hasard, et l'ouvrez.
Vous trouvez dedans un billet de 100€.
Là, l'animateur vous propose alors le deal suivant : vous pouvez reposez l'enveloppe et le billet de 100€, et vous conservez l'autre enveloppe à la place, quelle que soit la somme qui s'y trouve. Ou bien vous gardez simplement les 100€ trouvés.
Dans ce cas, deux possibilités s'offrent à vous :
1) l'autre enveloppe contient la moitié (50€), vous perdez alors 50€ en acceptant le deal
2) l'autre enveloppe contient le double (200€), vous gagnez alors 100€ en acceptant le deal
Pour chacune des deux possibilités, il y a 50% de chance qu'elle se produise, étant donné que vous avez choisi la première enveloppe au hasard.
En acceptant le deal, vous avez ainsi une espérance de gain de (1/2)*(-50)+(1/2)*100 = 25€
Vous en concluez que le deal est avantageux, et choisissez de l'accepter et de prendre l'autre enveloppe.
[fin]

A présent, imaginez que vous n'auriez pas trouvé 100€, mais une autre somme (appelons-la X).
Quel aurait été votre raisonnement ?
En principe, vous acceptez le deal, car il y a 50% de chance de perdre X/2, et 50% de chance de gagner X, ce qui vous donne une espérance de gain positive (de X/4).
Mais alors, vu que quelle que soit la somme trouvée dans la première enveloppe, vous trouvez le deal avantageux, dans ce cas autant choisir directement l'autre enveloppe. Mais dans ce cas, vous pourriez avoir le même raisonnement avec la somme que vous obtiendriez de cette deuxième enveloppe, et trouveriez avantageux de finalement prendre la première, etc.
Là est le paradoxe :
-> d'un côté, en choisissant une enveloppe, quel que soit son contenu, vous trouverez toujours avantageux de changer pour l'autre.
-> d'un autre côté, les deux enveloppes sont identiques et rien ne permet d'en privilégier une en particulier.
Qu'en pensez-vous ? Le deal est-il réellement avantageux ? Sinon comment expliquer l'espérance positive ?

[zygomatique]

salut

une fois ouverte une enveloppe de somme s alors :

soit tu arrêtes et tu gagnes s

soit tu n'arrêtes pas et tu n'as rien gagné ...mais (alors tu sais que) tu peux gagner s/2 ou 2s avec la même probabilité 1/2

l'espérance de gain est alors (1/2) (s/2 + 2s) = s + s/4 ... qui est supérieure à s ...


si je joue 10 000 fois de suite je prends toujours les deux enveloppes (enfin suivant les sommes)

si je joue une fois avec s = 100 000 .... je m'arrête ....

[Matt_01]

L'arnaque c'est de dire qu'on a 1 chance sur 2 de gagner la moitié/le double, une fois qu'on a déja tiré l'enveloppe, car en fait l'une des probas est nulle.
Le truc c'est que si véritablement on te propose "choisis un nombre au hasard, puis tu gagnes le double/la moitié avec 1 chance sur 2 si tu veux" alors changer est bénéfique.
En vérité en changeant on a : 1 chance sur 2 d'être tombé sur la grande et alors on perdra le prix de la petite.
1 chance sur 2 d'être tombé sur la petite et alors on gagnera le prix de la petite.
Mathématiquement ca s'exprime par le fait que, X étant le prix de la première enveloppe tirée et X' celui de l'autre, alors E(X'|X) n'est pas du tout une variable de Bernouilli (et est en fait une constante de X).

[beagle]

un bète arbre de proba non?
J'ai deux enveloppes choix 1/2 d'une enveloppe
et je regarde deux tactiques : je garde à chaque fois ou je change à chaque fois:
donc enveloppe S et 2S

1/2 j'ai pris l'enveloppe S:
je garde: gain S
je change : gain 2S

1/2 j'ai pris l'enveloppe 2S:
je garde : gain 2S
je change : gain S

c'est bien symétrique tout ça:
si je garde 1/2 de S et 1/2 de 2S
si je change : idem

[beagle]

si deux enveloppes 100 et 200 euros

je tombe sur celle de 100 et je fais le raisonnement
c'est soit 50 soit 200

je tombe sur celle de 200 je raisonne j'avais soit 100 soit 400

alors faut tout reprendre les probas avec 50, 100,200 et 400
il n'est pas normal de n'entendre dans la solution que 50,100 et 200


si c'était 50 et 100, refaire les probas idem avec du 25,50,100,200

non?

[zygomatique]

soit s et 2s les sommes dans les deux enveloppes que j'ai une chance sur deux de choisir


si je choisi s alors je peux penser qu'il y a s/2 (p = 0) et s ou s et 2s (q = 1)
si je choisis 2s alors je peux penser qu'il y a s (q = 1) et 2s ou 2s et 4s (p = 0)

si je décide de prendre la deuxième enveloppe alors E = (1/2)[p(s/2) + q(2s)] + (1/2)[q(s) + p(4s)] ) = s + s/4

bon je retrouve la même chose ....

Là, l'animateur vous propose alors le deal suivant : vous pouvez reposez l'enveloppe et le billet de 100€, et vous conservez l'autre enveloppe à la place, quelle que soit la somme qui s'y trouve. Ou bien vous gardez simplement les 100€ trouvés.
Dans ce cas, deux possibilités s'offrent à vous :
1) l'autre enveloppe contient la moitié (50€), vous perdez alors 50€ en acceptant le deal
2) l'autre enveloppe contient le double (200€), vous gagnez alors 100€ en acceptant le deal
Pour chacune des deux possibilités, il y a 50% de chance qu'elle se produise, étant donné que vous avez choisi la première enveloppe au hasard.
En acceptant le deal, vous avez ainsi une espérance de gain de (1/2)*(-50)+(1/2)*100 = 25€
Vous en concluez que le deal est avantageux, et choisissez de l'accepter et de prendre l'autre enveloppe.

quand tu décides de rejouer tu n'as rien gagner (comme je l'ai dit plus haut) ... tu sais seulement que tu peux gagner s/2 ou 2s (s = somme de la première enveloppe) avec la même probabilité

donc ton espérance est (1/2)(2s + s/2) = s + s/4

ton espérance de gain est supérieure à la somme s de la première enveloppe donc il est avantageux de prendre la deuxième enveloppe ...

[beagle]

soit deux colonnes
les xi et les 2xi

si je change: quand j'ai xi je gagne 2 xi
quand j'ai 2xi je gagne xi

bref je fais une succession de tirage, j'ai au bout de 1000 tirages environ la moitié de xi et la moitié de 2xi
et en moyenne je vais gagner idem
aux opposés de colonne des gains sans changement

dans les deux cas j'ai une suite complètement aléatoire de xi et 2xi

l'expérience est idem tirer moitié dans la première colonne des xi et moitié dans celle des 2xi