Résolution d'un système linéaire

[Mathday]

Bonjour les Amis,

Je suis un travailleur qui a repris l'école et j'ai deux questions dans un exercice pratique que j'ai du mal à résoudre :

Soit la matrice définie par A =

Première question :
On pose ; Comment écrire l’expression de l’itération de Gauss–Seidel à l’étape (k+1) ?

Deuxième question :
En partant de l’approximation initiale , comment résoudre le système par la méthode de Gauss-Seidel (Je dois effectuer 3 itérations) ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide !

[Razes]

étant le second membre du système

On doit résoudre le système


C'est à dire:

[Razes]

??

[Mathday]

Bonjour Razes,

Merci d'avoir disposer de ton temps à me répondre mais dans l’exercice j'ai pas de second membre B, j'ai juste la matrice A. Comment ferais-je alors pour résoudre le système que tu viens de trouver ?

[Razes]

Normalement, tu as une équation du style sinon, je ne vois pas ce qu'on te demande de résoudre.

Pour la résolution par la méthode d'itération de Gauss–Seidel, il te faut un second membre à moins qu'il ne faille poser et travailler avec dans l'état.

Pour les itérations, tu as que tu injecte dans le système d'équation, ce qui te permettra de calculer , et rebelote, jusqu'à convergence (c'est à dire que corresponde à la précision souhaitée)

[Mathday]

Salut Razes,

Je crois qu'il manque des données dans l'exercice, je vais en parler avec mon prof pour plus d'informations.

Merci infiniment pour ton aide et passe une excellente journée !!

[Razes]

C'était avec plaisir.

[aymanemaysae]

Bonsoir;

au lieu de chercher à trouver une solution approchée de l'équation A X = B par l’itération de Gauss–Seidel, je vais en donner une solution exacte pour la comparer avec celle qu'on trouvera avec la méthode d'itération.

A est inversible si .

,

donc pour ,

donc A est inversible pour ,

et on a ,

donc si , donc .

Je vais maintenant procéder par l'itération de Gauss–Seidel, et je vais voir si ça converge vers la solution que j'ai trouvée .

[Razes]

Tu prends quoi pour ?

[aymanemaysae]

Bonjour,

M. Mathday a facilité les choses en prenant , donc la matrice A est à diagonale dominante, donc la méthode d'itération de Gauss-Seidel converge dans ce cas pour tout vecteur B et tout point initial .

J'espère que j'ai vu juste.

[Razes]

Bonjour,

M. Mathday a facilité les choses en prenant , donc la matrice A est à diagonale dominante, donc la méthode d'itération de Gauss-Seidel converge dans ce cas pour tout vecteur B et tout point initial .

J'espère que j'ai vu juste.

Oui, le choix de n'est pas innocent, car ceci permet à la méthode d'itération de Gauss-Seidel de converger.