Je te propose plutôt un plan de travail. Raisonner dans le plan complexe ou dans un
quelconque ne change rien.
Première étape :
Soient
et
deux compacts convexes non vides de
. Soit
un point extrémal de
. On veut montrer qu'il existe un point
[de
- coquille signalée par bagabd] de
tel que, pour tous
de
et
de
, si
alors
. On va démontrer cette assertion par récurrence sur
.
1°) Initialisation pour
: je te laisse faire (rappel : les compacts convexes de
sont les intervalles fermés bornés, dont les points extrémaux sont les extrémités).
2°) Hérédité : on suppose
, le résultat établi dans
, on veut le montrer dans
.
On peut sans perte de généralité supposer que
est tel que
est le maximum des
-èmes coordonnées de points de
(quitte à faire un changement linéaire de coordonnées). Soit
le maximum des
-èmes coordonnées des points de
.
On pose
et
. Montrer que
et
sont des convexes compacts non vides de
et que
est un point extrémal de
. Appliquer alors l'hypothèse de récurrence pour
et
et conclure pour
,
et
.
Deuxième étape :
Soient
et
des convexes bornés non vides de
tels que
. Montrer que tout point extrémal de
appartient à
(bien sûr, utiliser le résultat de la première étape). Conclure que
.
Tu peux bien sûr t'aider des explications de Siméon sur les-mathématiques.net. Le plan de travail que je te propose n'est qu'une présentation légèrement différente des mêmes idées.