Aide Calcul Différentiel

[Archytas]

Salut,
Je suis vraiment une chèvre en calcul différentiel et j'aimerais de l'aide pour comprendre une différentiation simple :
On a une base orthonormée sur un ouvert d'une surface. son dual. On définit et . L'auteur écrit :

La réponse est probablement très simple mais encore une fois le calcul diff' me met un peu en échec à chaque fois que j'essaie de fraterniser.

[zygomatique]

salut

l'énoncé me semble bien imprécis ....

en particulier que désigne [X_1, X_2] ?

[Robot]

Si l'auteur écrit ça

c'est parce que c'est la formule invariante pour la dérivée extérieure d'une 1-forme.

Tu peux vérifier par un calcul bestial que si , , , alors les deux côtés de l'égalité donnent bien .

[Archytas]

salut

l'énoncé me semble bien imprécis ....

en particulier que désigne [X_1, X_2] ?

C'est le bracket de Lie
@Robot, vous voulez dire que pour n'importe quelle 1-forme la formule est vraie ??
C'est justement le calcul bestial qui me pose problème, je vois pas du tout ce que ça va être nos dérivées de u et v...

[Robot]

@Robot, vous voulez dire que pour n'importe quelle 1-forme la formule est vraie ??

Ben oui.

C'est justement le calcul bestial qui me pose problème, je vois pas du tout ce que ça va être nos dérivées de u et v...

Allez, courage !





Je te suggère d'écrire les dérivées partielles avec des indices, par exemple pour la dérivée partielle de par rapport à . Ca allège.

au fait, c'est crochet de Lie et pas braguette de Lie.

[Archytas]

Ah ok, en Italie ils appellent ça bracket même si c'est anglais, je pensais donc que c'était un terme internationnal, désolé !
Alors :



Wahhh c'est chiant, c'est pas légal de dire que les 2-formes sur les surfaces sont un espace vectoriel de dimension 1 et que le truc de droite est une 2 forme puis les calculer en un vecteur non nul pour vérifier que ça colle ? Mais par contre comment on calcule par exemple ?

[Robot]

les 2-formes sur les surfaces sont un espace vectoriel de dimension 1

Ouh la la !

Et je te trouve petit bras de laisser tomber si vite. Je t'avais proposé due économie de notation plus radicale.


Et tu en oublies en chemin dans .

[Archytas]

Ah merde il me semblait, enfin je veux dire sur chaque espace tangent c'est de dimension 1 ? Il suffit pas de vérifier que les deux expressions sont égales pour chaque vecteur de la base ?
J'aime mieux le raisonnement aux grands calculs... mais bon ça fait parti du lot paraît il





Et donc si on calcule... je retombe sur la même chose, donc c'est démontré, merci !
Autre question tant que j'y suis : en cours on appelle ça un "frame" local... j'imagine que ça a un autre nom en français, reverso me dit un "cadre" mais j'imagine que c'est pas ça, si ? ça sonne bizarre "cadre local", base locale peut être ?

[Robot]

Une 2-forme multipliée par n'importe quelle fonction différentiable dur la surface donne une autre 2-forme : ça ne fait pas vraiment une droite vectorielle ! Une fonction, ce n'est pas tout à fait une constante.

Bon, donc tu vois qu'en se retroussant les manches on y arrive. Il y a sans doute un moyen moins terre à terre de faire la vérification, mais c'est bien de temps en temps de voir que le calcul bête et méchant retombe sur ses pieds.

[Archytas]

Oui c'est clair et ça m'a aussi permis de me familiariser un peu avec qui est quoi... On manipule tout ça sans vraiment se rendre compte de ce qu'ils ont dans le ventre. Bon je vais absolument pas démontrer cette formule dans ma présentation et je vais même laisser entendre qu'elle est évidente. Avec un peu de chance la prof me demandera de la démontrer et BIM 20min de passées, temps écoulé et l'exam est fini tranquilou. Croisons les doigts, je reposerai des questions demain sur un autre sujet. Je viens de me découvrir un tas d'exo à faire pour mon exam de Lundi je suis dans une merde incroyable. Heureusement ce sont des exos je pense plus fin et moins calculatoire que notre jolie formule !
Merci encore !

[Robot]

Avec plaisir.