Calcul d'un volume par une intégrale

[Gyouji23]

Bonjour,
Je me pose une question concernant le calcul d'un volume.
Je cherche à calculer le volume de .
Mon réflexe est de calculer le volume de T comme cela:
, et j'obtiens 2 pour le volume de T.

En dessinant le volume en 3D, je m'aperçois que si j'applique la formule pour calculer l'air du triangle(base*hauteur/2), multipliée par la profondeur de celui-ci, j'obtiens toujours 2.

Jusqu'ici tout semble ok mais l'air du triangle dans le plan yz étant égale à , le volume de T est aussi calculable comme suit: , ce qui donne 2/3, le résultat correct!

Je n'ai vraisemblablement pas compris comment calculer un volume efficacement, je ne vois vraiment pas mon erreur... Merci beaucoup si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi la 1ère méthode est fausse!

[Archytas]

Je suis pas un pro en calcul d'intégrale mais dans ton premier calcul, z doit varier entre 0 et 2x-y à priori et je vois pas pourquoi y varierait entre 0 et 2 ! A priori le mieux serait d'intégrer pour x allant de 0 à 1 puis sur le domaine y+z < 2x, non ? Je trouve 2/3 comme ça et c'est pas casse tête.

[Gyouji23]

Merci, en faisant j'obtiens bien 2/3.
Mais je me demande toujours pourquoi le volume, qui semble être un triangle de base 2, hauteur 2, et profondeur 1, n'a pas un volume de 2 tout simplement... Je ne comprends vraiment toujours pas la différence...

Volume de T

FullSizeRenders.jpg (85.88 Kio) Vu 2810 fois

[zygomatique]

Merci, en faisant j'obtiens bien 2/3.
Mais je me demande toujours pourquoi le volume, qui semble être un triangle de base 2, hauteur 2, et profondeur 1, n'a pas un volume de 2 tout simplement... Je ne comprends vraiment toujours pas la différence...

FullSizeRenders.jpg

salut

ben parce que c'est la moitié d'un parallélépipède de dimension 2, 2 et 1 ...

parce que un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle ....

[Gyouji23]

Salut,
Justement, le volume de mon objet est (2*2)/2 *1, c'est bien la moitié du volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions 2x2x1.
Mais pourquoi en intégrant on trouve un volume de 2/3 et pas 2?
Il doit y avoir un truc tout bête qui m'échappe désolé...

[siger]

bonjour

1-les bornes d'integration sur y et z ne dependent pas de x
2- l'integration de 0 a 2-y sur z conduit a dxdy (2-y)
donc on obtient apres integration sur y, dx*(2y -y²/2) soit entre 0 et 2, dx*(2*2-2²/2) = 2dx ....... !!!!!!

[Gyouji23]

Salut,
C'est exactement ce que j'avais fait au début, avec des bornes d'intégration sur y et z qui ne dépendent pas de x (mon 1er message), et là effectivement je trouve 2.
Mais le corrigé de l'exercice utilise des bornes d'intégration qui dépendent de x (comme sur le dernier post exactement), donc la réponse est bien 2/3, et du coup je me retrouve à faire faux tous les calculs de volumes...

[siger]

RE

en prenant comme bornes z <=2x-y au lieu de z<=2-y, on obtient effectivement 2/3, mais ..........

ce n'est pas le même solide!
il suffit de verifier pour x = 0 par exemple.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Le point que vous avez sur l'axe (Oz) a pour coordonnées selon votre repère (y=0, x=0, z=2) donc y + z = 0 supérieur à 2 x = 0 , donc vous devez revoir votre solide.



avec y = 2x u et z = 2x v ,

On a ,

donc .

[Gyouji23]

Je vois, j'ai compris maintenant. Merci beaucoup pour vos réponses.