Géométrie sous variétés

[Houuda]

Bonjour
j essaie de comprendre les sous variétés de Rn , dans mon cours j'ai cette définition
On dit qu’un ensemble M ⊂ Rn est une sous-variété de Rn de dimension d si pour tout point de x de M, il existe
— des voisinages U et V de x et 0 dans Rn
— un difféomorphisme f : U → V ;
tels que
f(U ∩ M) = V ∩Rd × {0Rn−d }
On dit alors que M est de codimension n − d dans Rn
aussi des définitions équivalentes (par graphe , fonctions implicites ...)
mais avec cette définition il m'est très difficile de montrer qu une partie est une sous variété de Rn
Merci bien de votre aide

[Robot]

Tu devrais écrire proprement : .

Quant au fait que "avec cette définition il m'est très difficile de montrer qu une partie est une sous variété de ", c'est bien pour cela qu'on te donne des définitions équivalentes qu'il est plus facile de vérifier dans certains cas.
Aussi je ne comprends pas le sens de ta question. D'ailleurs tu ne poses pas de question.
Tu ne comprends pas cette définition ?

[Houuda]

dans les exercices par exemple Soit l’application f : R --> R2 telle que f(t):=(t^2,t^3). L’image de f est-elle une sous variété ?
je sais que je dois utiliser la jacobienne mais je comprends pas pourquoi ?
Merci pour votre réponse

[Robot]

La jacobienne de quoi ? Peux-tu préciser ?
La question est un peu vache : c'est une sous-variété topologique et pas une sous-variété .

[Houuda]

excusez moi monsieur j ai beaucoup des problèmes dans cette matière et merci pour votre aide
s'il vous plait pouvez vous me dire pourquoi c est une variété topologique
et comment j utilise la définition pour répondre a cette question
On considère la partie P de R^3 définie par :

P= {(x,y,z,t,u) in R^5, x^2+y^2-z+t+u=1
x-y+z+u^2=1
x^3+y^3=2 }

Montrer que P est une sous-variété de classe C l infinie de R^5 ?

[Robot]

s'il vous plait pouvez vous me dire pourquoi c est une variété topologique

L'application est un homéomorphisme de sur lui-même qui envoie la courbe sur l'axe des .


Pour ton , on vérifie sans peine que la matrice jacobienne des trois équations est de rang uniquement pour les points satisfaisant , qui n'appartiennent pas à .
Ton cours te dit alors que est une sous-variété de codimension de (donc de dimension ).